« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions
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<math>\mathbb K</math> désigne toujours un corps commutatif et <math>\mathbb K[X]</math> l'anneau des polynômes à coefficients dans <math>\mathbb K</math> . Certaines des propriétés citées ci-dessous ne sont valables que dans le cas ou <math>\mathbb K</math> est un corps infini <math display="inline">\mathbb Q</math>, <math display="inline">\mathbb R</math> ou <math display="inline">\mathbb C</math>.
== Division euclidienne et divisibilité dans lK[X] ==
{{Théorème
Ligne 116 :
Les démonstrations se font comme dans <math>\mathbb Z</math> (voir le cours d'[[arithmétique]]).
== PGCD et PPCM ==
=== Définitions ===
{{Définition
Ligne 131 :
* Comme dans <math>\mathbb Z</math>, deux polynômes sont dits '''premiers entre eux''' si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).
=== Algorithme d'Euclide ===
Il est le même que dans <math>\mathbb Z</math>. On établit le Lemme d'Euclide :
Ligne 179 :
|}
== Théorèmes d'Arithmétique ==
Ces Théorèmes se démontrent comme dans <math>\mathbb Z</math> .
Ligne 196 :
}}
== Polynômes premiers et irréductibles ==
{{Définition
Ligne 220 :
}}
== Idéaux de lK[X] ==
La définition d'un idéal est donnée dans [[Anneau (mathématiques)|le cours sur les anneaux]].
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