« Systèmes du premier ordre/Diagrammes de Bode » : différence entre les versions

 

La représentation en [[diagramme de Bode]] de ce type de système est fondamental car il permet de modéliser la plupart des systèmes d'ordres supérieurs à coefficients réels. Nous avons vu dans le chapitre précédent qu'une fonction de transfert peut être représenté par un nombre complexe <math>\underline H(j\omega)</math> qui dépend donc de la fréquence. Le diagramme de Bode répond à la question de savoir comment varient le module (appelé gain) et la phase en fonction de la fréquence.

Nous allons nous intéresser à ce que l’on appelle le diagramme asymptotique dans cette section. Cette notion est abordée un peu plus loin (de manière un peu plus formelle) dans ce cours, mais nous allons commencer par des recettes qui ressemblent plus à de la recette de cuisine.

Même si jusqu'à présent nous nous sommes contenté d'examiner le premier ordre, une fonction de transfert dans le cas général est un quotient de deux polynômes, un pour le numérateur et un pour le dénominateur. Une valeur qui annule un polynôme est appelée un [[w:Zéro_d'une_fonction|zéro]]. Si ce polynôme est au dénominateur, son zéro devient un [[w:Pôle_(mathématiques)|pôle]].

Le diagramme de Bode se trace sur du papier semi-log. C'est l'axe des fréquences (ou pulsations) qui est logarithmique. Il s'agit de l'axe horizontal. La fréquence 0 se trouve à <math>-\infty</math> sur cet axe et la fréquence <math>+\infty</math> à <math>+\infty</math>. C'est une propriété de la fonction logarithmique.

 

Un peu d'humour : ne faites jamais vos bagages pour partir à <math>-\infty</math>. Laissez votre cerveau vous y emmener par la pensée.

 

 

=== Calcul ===

* Par définition le gain en décibel vaut

d'où <math>G_{\mathrm{dB}}=20~\log(|\frac{K}{1+p\tau}|)=20~\log(\frac{|K|}{|1+p\tau|})=20~\log(\frac{K}{\sqrt{1+p^2\tau^2}})</math>

 

On remplace ici <math>p=j\omega</math>

 

Ce point particulier est appelé pulsation de cassure et vaut <math>\omega=\frac1{\tau}</math>

 

On voit apparaitre un certain nombre de points remarquables bien pratiques pour tracer avec précision:

* La pulsation de cassure en <math>\omega=\frac{1}{\tau}</math> se trouve 3db en dessous de l'asymptote horizontale.

}}

 

Par définition également, le déphasage entre l'entrée et la sortie vaut <math>\varphi=\arg(\underline H(j\omega))</math>

Comme précédemment, on constate que

On note de plus que <math>\arg G_{\mathrm{dB}}(\omega_0)=-45</math>

 

[[Fichier:FPBP1.png|thumb|right|500px|Le lieu de bode d'un filtre passif de premier ordre (circuit RC)]]

On obtient enfin le tracé suivant

 

* [[Transformée de Laplace]] dans un autre cours

* [[w:Transformée_de_Laplace|Transformée de Laplace]] dans wikipédia