« Calcul différentiel/Recherches d'extrema » : différence entre les versions
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Dans ce chapitre, nous allons aborder des théorèmes qui portent sur l’existence d'extrema '''locaux''' de fonctions définies sur des '''ouverts''', puis nous verrons des méthodes plus générales permettant de trouver des extrema.
== Définition ==
{{Attention|<math>\Omega</math> désigne un '''ouvert''' de <math>\R^n</math> dans tout le chapitre. (Les théorèmes suivants sont inapplicables sans cette hypothèse.)}}
Ligne 35 :
}}
== Points critiques ==
=== Définition ===
{{Définition
Ligne 45 :
}}
=== Condition nécessaire sur la différentielle ===
{{Théorème
Ligne 67 :
<math>\forall i\quad\frac{\partial f}{\partial x_i} = 0</math>.
== Matrice hessienne ==
=== Définition ===
{{Définition
Ligne 82 :
Selon le [[Calcul différentiel/Théorèmes utiles#Théorème de Schwarz|théorème de Schwarz]], la hessienne est [[Espace euclidien/Formes bilinéaires symétriques et quadratiques#Matrice d'une forme bilinéaire symétrique|symétrique]].
=== Condition nécessaire sur la différentielle seconde ===
{{Théorème
Ligne 121 :
de la matrice hessienne qui sont positives et d'autres qui sont négatives, pour monter qu'un point n’est pas un extremum.
=== Condition suffisante d’existence d'un extremum ===
{{Théorème
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