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« Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1 » : différence entre les versions

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Ligne 12 :
En supposant <math>a+b+c=\pi</math>, simplifier les expressions :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>\frac{\sin a+\sin b+\sin c}{\sin a+\sin b-\sin c}</math>
 
'''b)2°''' &nbsp;<math>1+\cos a+\cos b-\cos c</math>
{{Solution|contenu=
'''1°'''
a)
:<math>\begin{align}\frac{\sin a+\sin b+\sin c}{\sin a+\sin b-\sin c}&=\frac{\sin a+\sin b+\sin(a+b)}{\sin a+\sin b-\sin(a+b)}\\
&=\frac{2\sin((a+b)/2))\left(\cos((a-b)/2))+\cos((a+b)/2))\right)}{2\sin((a+b)/2))\left(\cos((a-b)/2))-\cos((a+b)/2))\right)}\\
&=\frac{\cos(a/2)\cos(b/2)}{\sin(a/2)\sin(b/2)}\\
&=\cot(a/2)\cot(b/2)\end{align}</math>
'''2°'''
b)
:<math>\begin{align}1+\cos a+\cos b-\cos c&=\cos a+\cos b+1+\cos(a+b)\\
&=2\cos((a+b)/2)\left(\cos((a-b)/2)+\cos((a+b)/2)\right)\\
Ligne 65 :
Mettre sous forme de produit ou de quotient, les expressions suivantes :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>\sin a+2\sin2a+\sin3a</math>
 
'''b)2°''' &nbsp;<math>\cos a+2\cos2a+\cos3a</math>
 
'''c)3°''' &nbsp;<math>\sin^2a+\sin^2b-\sin^2(a+b)</math>
 
'''d)4°''' &nbsp;<math>1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x</math>
 
'''e)5°''' &nbsp;<math>1-\sin^2x-\sin^2y</math>
 
{{solution}}
Ligne 82 :
Mettre sous forme de produit ou de quotient, les expressions suivantes :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>\cos^22x-\cos^2x</math>
 
'''b)2°''' &nbsp;<math>\sin^22x-\sin^2\frac x2</math>
 
'''c)3°''' &nbsp;<math>\sin^2\frac{5x}2-\cos^2\frac{3x}4</math>
 
'''d)4°''' &nbsp;<math>\cos3x-\cos^2\frac{3x}2</math>
 
'''e)5°''' &nbsp;<math>\sin x+\sin2x</math>
 
{{solution}}
Ligne 99 :
Mettre sous forme de produit ou de quotient, les expressions suivantes :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>\tan2x-\tan x</math>
 
'''b)2°''' &nbsp;<math>\tan x+\tan3x</math>
 
'''c)3°''' &nbsp;<math>1+\tan x\tan2x</math>
 
'''d)4°''' &nbsp;<math>\frac{\sin x+\sin3x+\sin5x}{\cos x+\cos3x+\cos5x}</math>
 
{{solution}}
Ligne 114 :
Mettre sous forme de produit ou de quotient, les expressions suivantes :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>1+\cos2x+2\cos x</math>
 
'''b)2°''' &nbsp;<math>1-\cos3x+3\sin\frac{3x}2</math>
 
'''c)3°''' &nbsp;<math>\cos x+\cos2x+\cos3x</math>
 
'''d)4°''' &nbsp;<math>\sin x+\sin2x+\sin3x</math>
 
'''e)5°''' &nbsp;<math>1+\cos x+\cos2x</math>
 
{{solution}}
Ligne 128 :
 
== Exercice 10-8 ==
 
Calculer, en fonction de <math>a,\,b,\,c,</math> les expressions :
 
<math>A=a\cos^2\theta+2b\sin\theta\cos\theta+c\sin^2\theta</math>
 
<math>B=a\sin^2\theta-2b\sin\theta\cos\theta+c\cos^2\theta</math>
 
sachant que : <math>\tan2\theta=\frac{2b}{a-b}</math>. (Calculer <math>A+B</math> et <math>A-B</math>).
 
Évaluer aussi <math>AB</math>.
 
{{solution}}
 
 
== Exercice 10-9 ==
 
Démontrer les relations :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>\sin\frac\pi9\sin\frac{2\pi}9\sin\frac{3\pi}9\sin\frac{4\pi}9=\frac3{16}</math>
 
'''b)''' &nbsp;<math>\cos\frac\pi9\cos\frac{2\pi}9\cos\frac{3\pi}9\cos\frac{4\pi}9=\frac1{16}</math>▼
 
{{solution}}
 
 
== Exercice 10-10 ==
 
Calculer la somme :
 
<math>S=\sin^4\frac\pi8+\sin^4\frac{3\pi}8+\sin^4\frac{5\pi}8+\sin^4\frac{7\pi}8</math>
 
{{solution}}
 
 
== Exercice 10-11 ==
 
{{solution}}
 
 
▲'''b)2°''' &nbsp;<math>\cos\frac\pi9\cos\frac{2\pi}9\cos\frac{3\pi}9\cos\frac{4\pi}9=\frac1{16}</math>
== Exercice 10-12 ==
 
{{solution}}
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