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« Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 2 » : différence entre les versions

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{{Exercice
| idfaculté = mathématiques
| numéro = 1011
| chapitre = [[../../Relations trigonométriques/]]
| précédent = [[../Relations trigonométriques 1/]]
| suivant = [[../Relations danstrigonométriques un triangle3/]]
| niveau = 12
}}
__TOC__
{{Clr}}
== Exercice 1011-1 ==
 
Démontrer que les expressions suivantes :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>\cos^2x-2\cos a\cos x\cos(a+x)+\cos^2(a+x)</math>
 
'''b)2°''' &nbsp;<math>\cos^2x+\cos^2\left(\frac{2\pi}3+x\right)+\cos^2\left(\frac{2\pi}3-x\right)</math>
 
'''c)3°''' &nbsp;<math>3(\sin^8x-\cos^8x)+4(\cos^6x-\sin^6x)+6\sin^4x</math>
 
sont indépendantes de <math>x</math>.
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== Exercice 1011-2 ==
 
'''1°''' &nbsp;<math>\theta_n</math> désigne un angle compris entre <math>0</math> et <math>\frac\pi2</math> tel que l'on ait :
::<math>\tan\theta_n=\frac1{1+n+n^2}=\frac{n+1-n}{1+n(n+1)}</math>.
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}}
 
== Exercice 1011-3 ==
 
On donne :
Ligne 63 ⟶ 64 :
 
 
== Exercice 1011-4 ==
 
<math>a,\,b,\,c</math> désignant des angles compris entre '''0''' et <math>\frac\pi2</math>. On donne :
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== Exercice 1011-5 ==
 
Démontrez les identités suivantes :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>\sin(a+b)\sin(a-b)+\sin(b+c)\sin(b-c)+\sin(c+a)\sin(c-a)=0</math>
 
'''b)2°''' &nbsp;<math>\cos(a+b)\sin(a-b)+\cos(b+c)\sin(b-c)+\cos(c+a)\sin(c-a)=0</math>
 
'''c)3°''' &nbsp;<math>\cos(a+b)\cos(a-b)+\cos(b+c)\cos(b-c)+\cos(c+a)\cos(c-a)=2(\cos^2a+\cos^2b+\cos^2c)-3</math>
 
{{solution}}
 
 
== Exercice 1011-6 ==
 
Démontrez les identités suivantes :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>\tan(b-c)+\tan(c-a)+\tan(a-b)=\tan(b-c)\tan(c-a)\tan(a-b)</math>
 
'''b)2°''' &nbsp;<math>\tan a+\tan b+\tan c-\tan a\tan b\tan c=\frac{\sin(a+b+c)}{\cos a\cos b\cos c}</math>
 
{{solution}}
 
 
== Exercice 1011-7 ==
 
Démontrez les identités suivantes :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>\tan^2a+\cot^2a=2\times\frac{3+\cos4a}{1-\cos4a}</math>
 
'''b)2°''' &nbsp;<math>\frac{\sin2a}{1+\cos2a}\times\frac{\cos a}{1+\cos a}=\tan\frac a2</math>
 
{{solution}}
 
 
== Exercice 1011-8 ==
 
Démontrez les identités suivantes :
 
'''a)1°''' &nbsp;<math>\left(\cot\frac a2-\tan\frac a2\right)^2=\frac4{1-2\tan a\cot2a}</math>
 
'''b)''' &nbsp;<math>\tan\left(\frac\pi4+\frac a2\right)+\cot\left(\frac\pi4+\frac a2\right)=\frac2{\cos a}</math>
 
{{solution}}
 
 
== Exercice 10-9 ==
 
On donne <math>\sin a=|b|<1</math> et l'on se propose de calculer :
 
<math>\cos\frac a2=x;\qquad\sin\frac a2=y;\qquad\tan\frac a2=z;</math>
 
'''1°''' &nbsp;Montrer que l'on a :
:<math>(x+y)^2=1+b;\qquad(x-y)^2=1-b</math>
:En déduire x et y.
 
'''2°''' &nbsp;Combien obtient-on de solution pour x, pour y et pour z ? Quelles remarques peut-on faire sur ces différentes valeurs ?
 
'''3°''' &nbsp;Donner une interprétation géométrique des résultats obtenues en montrant que les extrémités des arcs <math>\frac a2</math> sont les sommets d'un rectangle dont les cotés sont parallèles aux bissectrices des axes de coordonnées.
 
'''42°''' &nbsp;''Application :'' Calculer les lignes trigonométriques de <math>\tan\left(\frac{17\pi}{12}</math>pi4+\frac connaissant <math>a2\right)+\sincot\left(\frac{17\pi}6=\sinpi4+\frac a2\pi6right)=\frac12frac2{\cos a}</math>
 
{{solution}}
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| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../Relations trigonométriques 1/]]
| suivant = [[../Relations danstrigonométriques un triangle3/]]
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