|
| titre = Définition : Dérivées d'un polynôme
| contenu =
Soit <math>P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \mathbb K[X]</math> .<br />
* La '''dérivée (formelle) de <math>P</math> ''' est le polynôme :
<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>P' = \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} </math>}}.</div>.<br />
* La '''dérivée ''p''-ième de <math>P</math>''' (<math>p\in \mathbb N</math>) est définie par récurrence :
<div style="text-align: center;"><math>P^{{Encadre|contenu(0)} = P</math> et <math>P^{(p+1)} = (P^{(p)})' \mathrm{\;et\;} P^{(0)} = P </math>}}.</div>.
}}
C'est une notion "« formelle" » et purement algébrique : bien que définie par analogie avec l’[[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|analyse]], elle se définit ici sans référer à la notion de limite...<br />
On remarquera que, si <math>\mathbb K</math> est un corps fini, cette notion peut donner lieu à des "bizarreries" (surtout en référence à l'analyse) : par exemple, si <math>\mathbb K = \mathbb Z / 3\mathbb Z</math> et <math>P = X^3 - 1</math> , alors <math>P' = 3X^2 = 0</math> mais <math>P</math> n’est pas constant ! ▼
▲On remarquera que, si <math>\mathbbla [[w:Caractéristique d'un anneau|caractéristique du corps]] ''K </math>'' n'est pas nulle (en particulier si ''K'' est un corps fini ), cette notion peut donner lieu à des "bizarreries " (surtout en référence à l'analyse) : par exemple, si <math> \mathbb K = \ mathbb Z / 3\ mathbb Z</math> et <math>P = X^3 - 1</math> , alors <math>P' = 3X^2 = 0</math> mais <math>P</math> n’est pas constant !.
On dispose d'une formule de Taylor-Young (comme en [[Fonctions d'une variable réelle/Développements limités|analyse]] mais sans le "petit o") : <br /> ▼
▲On dispose d'une formule de Taylor-Young ( sans reste, comme pour une fonction polynomiale en [[Fonctions d'une variable réelle/Développements limités|analyse]] mais sans le "petit o") : <br />
{{Théorème
| titre = Formule de Taylor-Young pour les polynômes
| contenu ={{Wikipédia|Polynôme formel#Développement de Taylor|Développement de Taylor d'un polynôme}}
| contenu =
Soient <math>\alpha\inK</math> \mathbbun Kcorps de caractéristique nulle, <math>P</math> etun polynôme de <math>P\in \mathbb K[X]</math> .de degré inférieur ou égal à <brmath>n</math> et <math>a\in K</math>. Alors :
Alors :<br />
<div style="text-align: center;">
:<math>P = \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(a)}{k!} (X-a)^k=P(a) + P^{\prime} (a) \left( X-a \right) + \frac{P'' (a)}{2!} \left( X-a \right)^2 + \ldots + \frac{P^{(n)} \left( a \right)}{n!} \left( X-a \right)^n</math> .▼{{Résultat
| <math>P = \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!} (X-\alpha)^k </math>
}}
</div>
}}
aussi exprimable sous cette forme
{{Théorème
| titre = Théorème : Formule de Taylor-Young pour les polynômes|contenu = Soit <math>P</math> un polynôme de <math>\mathbb C \left[X\right]</math> de degré inférieur ou égal à <math>n</math>, et soit <math>a</math> un nombre complexe, alors
▲:<math>P = P(a) + P^{\prime} (a) \left( X-a \right) + \frac{P'' (a)}{2!} \left( X-a \right)^2 + \ldots + \frac{P^{(n)} \left( a \right)}{n!} \left( X-a \right)^n</math>
}}
En fait, dans les corps finis, il faut encore faire preuve de « méfiance », les coefficients <math>\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}</math> n'étant pas toujours définis.
{{Bas de page
| 