« Série numérique/Exercices/Série harmonique » : différence entre les versions
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== Question 2 ==
{{Wikipédia|Constante d'Euler-Mascheroni}}▼
Montrer que les suites <math>u_n=H_{n-1}-\ln n</math> et <math>v_n=H_n-\ln n</math> (définies pour <math>n\ge1</math>) sont [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes|adjacentes]].
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*:En particulier pour tout entier <math>n\ge1</math>, <math>v_{n+1}-v_n=g\left(\frac1{n+1}\right)<0</math>.
}}
▲{{Wikipédia|Constante d'Euler-Mascheroni}}
Leur limite commune est la constante d'Euler, notée <math>\gamma</math>. Elle vérifie donc :
:<math>\gamma=\lim_{n\to+\infty}\left(
ou encore :
:<math>H_n=\ln n+\gamma+\varepsilon_n</math> avec <math>\lim_{n\to+\infty}\varepsilon_n=0</math>.
== Question 3==
En déduire, en exprimant <math>P_n:=\sum_{k=1}^n\frac1{2k}</math> et <math>I_n:=\sum_{k=1}^n\frac1{2k-1}</math> en fonction de <math>H_n</math> et <math>H_{2n}</math>, que <math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k(2k+1)}=2(1-\ln2)</math>.
{{Solution|contenu=
<math>P_n=\frac12H_n</math> et <math>I_n+P_n=H_{2n}</math> donc <math>I_n=H_{2n}-\frac12H_n</math>.
:<math>\begin{align}\sum_{k=1}^n\frac1{2k(2k+1)}&=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{2k}-\frac1{2k+1}\right)\\
&=P_n-(I_{n+1}-1)\\
&=\frac12H_n-H_{2n+2}+\frac12H_{n+1}+1\\
&=\frac{\ln n+\gamma+\varepsilon_n}2-\left(\ln(2n+2)+\gamma+\varepsilon_{2n+2}\right)+\frac{\ln(n+1)+\gamma+\varepsilon_{n+1}}2+1\\
&=1-\ln2+\frac{\varepsilon_n-2\varepsilon_{2n+2}+\varepsilon_{n+1}-\ln\left(1+\frac1n\right)}2\end{align}</math>
donc
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{2k(2k+1)}=1-\ln2</math>.
}}
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| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../Exemple de télescopage/]]
| suivant = [[../
}}
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