« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions

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| niveau = 15
}}
{{Wikipédia|Sommation par parties}}
 
Appliquer le critère d'Abel pour étudier les deux séries de terme général :
 
* <math>a_n = \frac{\cos(nx)}{n\ \ln( n)}</math>, où <math>x</math> est un paramètre réel.
 
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
Supposons <math>x \notin 2\pi\Z</math>. On utilise alors [[Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 5-5|un résultat classique]] :
 
Si <math>x \notin 2k \pi,\ k \in \Z,\ \sum_{k=0}^n \cos(kx) = \cos(n \tfrac{x}{2} x2) \frac{\sin((n+1)\tfrac{x}{2} x2)}{\left|\sin(\tfrac{x}{2} x2)\right|}</math>
 
Donc <math>\left| \sum_{k=0}^n \cos(kx) \right| = |\cos(n \tfrac{x}{2} x2)| \frac{|\sin((n+1)\tfrac{x}{2} x2)|}{|\sin(\tfrac{x}{2} x2)|} \le \frac{1}frac1{\left|\sin(\tfrac{x}{2} x2)\right|}</math>
 
* La suite <math>\left(\frac1{n \ln n}\right)_{n \ge 2}</math> est décroissante et de limite nulle.
Si <math>x \notin 2k \pi,\ k \in \Z</math>
* Il existe une constante <math>M > 0,\ M = \frac{1}frac1{\left|\sin(\tfrac{x}{2} x2)\right|}</math> teltelle que :
 
* La suite <math>\left(| \fracsum_{1k=0}{^n \lncos(nkx)} \right)_{n| \gele 2}M</math> estpour unetout suiteentier den, réelsdonc positifs,d’après décroissante,la etrègle tel qued'Abel, <math>\lim_sum_{n\to =2}^\infty} \frac{1\cos(nx)}{n \ln( n)} = 0</math> converge.
* Il existe une constante <math>M > 0,\ M = \frac{1}{\sin(\tfrac{x}{2})}</math> tel que :
 
Il reste à traiter le cas <math>x\in2\pi\Z</math>.
<math>\left| \sum_{k=0}^n \cos(kx) \right| \le M</math> pour tout entier n, donc d’après la règle d'Abel, <math>\sum_{k=0}^n \frac{\cos(kx)}{n \ln(n)}</math> converge.
 
 
Regardez ce qu’il se passe si <math>x</math> est un multiple de <math>2\pi</math>.
}}
 
* <math>b_n = \frac{\sin( n)}{\sqrt{ n}}</math>
{{Solution
| contenu =
On utilise [[Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 5-5|le résultat classique analogue au précédent]] : pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 0, et tout réel <math>x \notin 2k 2\pi,\ k \in \Z</math>,
 
<math>\sum_{k=1}^n \sin(kx) = \sin(n \tfrac{x}{2} x2) \frac{\sin((n+1)\tfrac{x}{2} x2)}{\sin(\tfrac{x}{2} x2)}</math>
 
 
Pour x = 1 :
 
<math>\left| \sum_{k=1}^n \sin( k) \right| = |\sin(\tfrac{n}{2} n2)| \frac{|\sin(\tfrac{n+1}{2})|}{|\sin(\tfrac{1tfrac12)}\le\frac1{2}\sin(\tfrac12)|}</math>.
 
 
Or <math>|\sin(\tfrac{n}{2})| \le 1</math> et <math>|\sin(\tfrac{n+1}{2})| \le 1</math> donc <math>|\sin(\tfrac{n}{2})| \frac{|\sin(\tfrac{n+1}{2})|}{|\sin(\tfrac{1}{2})|} \le \frac{1}{|\sin(\tfrac{1}{2})|}</math>
 
Donc il existe une constante <math>M > 0,\ M = \frac{1}frac1{\sin(\tfrac{1}{2}tfrac12)}</math> teltelle que :
 
<math>\left| \sum_{k=1}^n \sin(k) k\right| \le M</math>pour tout entier n. On peut donc appliquer la règle d'Abel, donc la série <math>b_n = \sum_{n \ge =1} ^\infty\frac{\sin( n)}{n \ln(sqrt n)}</math> est convergente.}}
 
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