« Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale » : différence entre les versions
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Ligne 38 :
==Exercice 2==
Étude des séries de Riemann et de Bertrand : variante de la [[Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage|méthode par télescopage]].
Soient <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> deux réels.
#Montrer que la fonction <math>x\mapsto\frac1{x^\alpha\ln^\beta x}</math> est monotone à partir d'un certain seuil.
#En déduire la nature de la série <math>\sum_{n\ge2}\frac1{n^\alpha\ln^\beta n}</math>
{{Solution|contenu=
#La dérivée de cette fonction <math>f_{\alpha,\beta}</math> (définie sur <math>\left]1,+\infty\right[</math>) est du signe de <math>-\alpha\ln x-\beta</math>.
#D'après la question 1, la série <math>\sum_{n\ge2}
#*Pour <math>\beta=0</math>, elle est donc convergente si et seulement si <math>\alpha>1</math> car lorsque <math>A\to+\infty</math>,
#*:<math>\int_1^A\frac{\mathrm
\begin{cases}
\
\
\frac{A^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}&\to\frac1{\alpha-1}&\text{ si }\alpha>1.
\end{cases}</math>
#*Pour <math>\alpha=1</math>, elle est donc convergente si et seulement si <math>\beta>1</math> car (par changement de variable <math>t=\ln x</math>) <math>\int_2^{+\infty}f_{1,\beta}(x)\;\mathrm dx=\int_{\ln 2}^{+\infty}f_{\beta,0}(t)\;\mathrm dt</math>.
}}
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