« Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale » : différence entre les versions

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+Bertrand
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==Exercice 2==
Étude des séries de Riemann et de Bertrand : variante de la [[Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage|méthode par télescopage]].
 
Soient <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> deux réels.
#Montrer que la fonction <math>x\mapsto\frac1{x^\alpha\ln^\beta x}</math> est monotone à partir d'un certain seuil.
#En déduire la nature de la série <math>\sum_{n\ge2}\frac1{n^\alpha\ln^\beta n}</math> silorsque <math>\beta=0</math> ou <math>\ge1alpha=1</math>.
{{Solution|contenu=
#La dérivée de cette fonction <math>f_{\alpha,\beta}</math> (définie sur <math>\left]1,+\infty\right[</math>) est du signe de <math>-\alpha\ln x-\beta</math>.
#D'après la question 1, la série <math>\sum_{n\ge2}\frac1f_{n\ln^alpha,\beta }(n})</math> est de même nature que l'intégrale <math>\int^{+\infty}f_{\beta</math>. Par changement de variable <math>t=\ln x</math>alpha, cette intégrale (donc la série) est de même nature que <math>\int^{+\infty}\frac{\mathrm dt}{t^\beta}</math>, c'est-à-dire convergente si et seulement si <math>\beta>1</math>, car quand <math>A\to+\infty</math>,.
#*Pour <math>\beta=0</math>, elle est donc convergente si et seulement si <math>\alpha>1</math> car lorsque <math>A\to+\infty</math>,
#*:<math>\int_1^A\frac{\mathrm dtdx}{tx^\betaalpha}=
\begin{cases}
\ln frac{A^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}&\to+\infty &\mboxtext{ si }\beta=alpha>1\\
\frac{ln A^{1-\beta}-1}{1-\beta}&\to+\frac1{\beta-1} infty&\mboxtext{ si }\beta>alpha=1.\\
\frac{A^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}&\to\frac1{\alpha-1}&\text{ si }\alpha>1.
\end{cases}</math>
#*Pour <math>\alpha=1</math>, elle est donc convergente si et seulement si <math>\beta>1</math> car (par changement de variable <math>t=\ln x</math>) <math>\int_2^{+\infty}f_{1,\beta}(x)\;\mathrm dx=\int_{\ln 2}^{+\infty}f_{\beta,0}(t)\;\mathrm dt</math>.
}}