« Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré » : différence entre les versions

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inégalité arithmético-géométrique + signalé un corrigé manquant
Ligne 88 :
* <math>f_3:x\mapsto -x^2+3</math>
* <math>f_4:x\mapsto -3x^2-x</math>
 
 
{{Solution
Ligne 161 ⟶ 160 :
'''2.''' a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de <math>f</math> au point d'abscisse 2.
 
:b) QuelQuelle erreur absolue commet-on si on utilise cette approximation affine de <math>f</math> pour <math>x=1,8</math> ?
:c) Quelle est l'erreur relative correspondante ? (en pourcentages)
 
{{Solution|contenu=
}}
 
== Exercice 4==
#Soit <math>S</math> un réel. Déterminer la valeur maximum de la fonction <math>f</math> définie sur <math>\R</math> par <math>f(x)=x(S-x)</math>.
#En déduire que pour tous réels <math>x</math> et <math>y</math>,
#:<math>xy\le\frac{(x+y)^2}4</math>.
#En déduire l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 1 : Comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique|inégalité arithmético-géométrique]] : pour tous réels positifs <math>x</math> et <math>y</math>,
#:<math>\sqrt{xy}\le\frac{x+y}2</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>f'(x)=S-2x</math> donc le maximum est <math>f\left(\tfrac S2\right)=\frac{S^2}4</math>.
#D'après la question précédente, pour tous réels <math>x</math> et <math>S</math> on a <math>x(S-x)\le\frac{S^2}4</math>. Pour tous réels <math>x</math> et <math>y</math>, en posant <math>S=x+y</math>, on en déduit : <math>xy\le\frac{(x+y)^2}4</math>.
#On applique la fonction racine carrée (croissante sur <math>\R_+</math>) de part et d'autre de l'inégalité précédente.
}}
 
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