« Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle » : différence entre les versions

Retrouver le résultat précédent en utilisant le résultat : <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} frac1k=\ln ln(n) + \gamma + \epsilon_n</math> avec <math>\lim_{n \to \infty}\epsilon_n = 0</math>, vu dans l’[[Série numérique/Exercices/Série harmonique|exercice 4sur la série harmonique]].

<math>\sum_{k=0}^n \frac{1}frac1{k+1} = 1 + \frac{1}{2} frac12+ \cdots + \frac{1}{n} frac1n+ \frac{1}frac1{n+1} = H_{n+1}</math>

<math>\sum_{k=0}^n \frac{1}frac1{k+2} = \frac{1}{2} frac12+ \frac{1}{3} frac13+ \cdots + \frac{1}frac1{n+2} = H_{n+2} - 1</math>

<math>\sum_{k=0}^n \frac{1}frac1{k+3} = \frac{1}{3} frac13+ \frac{1}{4} frac14+ \cdots + \frac{1}frac1{n+3} = H_{n+3} - 1 - \frac{1}{2}frac12</math>

<math>H_{n+1} - 2 H_{n+2} + 2 + H_{n+3} - \frac{3}{2}frac32</math>

<math>= \ln(n+1) + \gamma + \epsilon_{n+1} - 2(\ln(n+2) + \gamma + \epsilon_{n+2}) + 2 + \ln(n+3) + \gamma + \epsilon_{n+3} - \frac{3}{2}frac32</math>.

<math>= \ln\left( \frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2} \right) + \frac{1}{2} frac12+ \epsilon_{n+1} - 2 \epsilon_{n+2} + \epsilon_{n+3}</math>.

<math>\lim_{n \to \infty} \ln \left( \frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \ln \left( \cfrac{ \left( 1 + \cfrac{4}{n} cfrac4n+ \cfrac{3}cfrac3{n^2} \right) }{ \left( 1 + \cfrac{4}{n} cfrac4n+ \cfrac{4}cfrac4{n^2} \right) } \right) = 0</math>

Donc la suite <math>(S_n)_{n \in \N}</math> converge vers <math>\tfrac{1}{2}tfrac12</math>, donc la série <math>\sum_{k \ge 0} \frac{2}frac2{(k+1)(k+2)(k+3)}</math> converge, et sa somme est <math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}frac2{(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{2}frac12</math>.}}