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« Série numérique/Exercices/Série harmonique » : différence entre les versions

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preuve plus simple
Ligne 25 :
 
== Question 2 ==
Montrer que lesplus suitesprécisément, la suite <math>u_n=H_{n-1}(H_n-\ln n)</math> etconverge (donc <math>v_n=H_n-\sim\ln n</math>). Pour cela, considérer la série de terme général <math>u_n=\frac1n-\ln n+\ln(définiesn-1)</math> pour <math>n\ge1ge2</math>), sontet [[Approfondissement sur les suites numériques<math>u_1=1</Suites adjacentes|adjacentes]]math>.
{{Solution|contenu=
Pour <math>n\ge2</math>, <math>u_n=\frac1n+\ln\left(1-\frac1n\right)=o\left(\frac1{n^2}\right)</math> donc la série <math>\sum_{n\ge1}u_n</math> converge.
:<math>\sum_{k=1}^nu_k=1+\sum_{k=2}^n\left(\frac1k-\ln k+\ln(k-1)\right)=H_n-\ln n</math>
donc <math>H_n-\ln n\to\sum_{n\ge1}u_n</math>.
}}
{{Wikipédia|Constante d'Euler-Mascheroni}}▼
LeurLa limite communede <math>(H_n-\ln n)</math> est la constante d'Euler, notée <math>\gamma</math>. Elle vérifie donc :▼
:<math>H_n=\ln n+\gamma+\varepsilon_n</math> avec <math>\lim_{n\to+\infty}\varepsilon_n=0</math>.▼
 
== Question 3==
Retrouver le résultat de la question 2 en montrant que les suites <math>u_n=H_{n-1}-\ln n</math> et <math>v_n=H_n-\ln n</math> (définies pour <math>n\ge1</math>) sont [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes|adjacentes]].
 
{{Solution|contenu=
Ligne 38 ⟶ 49 :
*:En particulier pour tout entier <math>n\ge1</math>, <math>v_{n+1}-v_n=g\left(\frac1{n+1}\right)<0</math>.
}}
▲{{Wikipédia|Constante d'Euler-Mascheroni}}
▲Leur limite commune est la constante d'Euler, notée <math>\gamma</math>. Elle vérifie donc :
:<math>\gamma=\lim_{n\to+\infty}\left(H_n-\ln n\right)</math>,
ou encore :
▲:<math>H_n=\ln n+\gamma+\varepsilon_n</math> avec <math>\lim_{n\to+\infty}\varepsilon_n=0</math>.
 
== Question 34==
EnDéduire déduirede la question 2, en exprimant <math>P_n:=\sum_{k=1}^n\frac1{2k}</math> et <math>I_n:=\sum_{k=1}^n\frac1{2k-1}</math> en fonction de <math>H_n</math> et <math>H_{2n}</math>, que <math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k(2k+1)}=2(1-\ln2)</math>.
 
{{Solution|contenu=
Ligne 57 ⟶ 63 :
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{2k(2k+1)}=1-\ln2</math>.
}}
 
 
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