« Série numérique/Exercices/Série harmonique » : différence entre les versions

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== Question 2 ==
Montrer que plus précisément, la suite <math>(H_n-\ln n)_{n\ge1}</math> converge (donc <math>H_n\sim\ln n</math>). Pour cela, poser <math>a_n=H_n-\ln n</math> et considérer la série de terme général <math>u_n:=\frac1na_n-\ln n+\ln(a_{n-1)}</math> pour <math>n\ge2</math>, et <math>u_1=1a_1</math>.
{{Solution|contenu=
Pour <math>n\ge2</math>, <math>u_n=\frac1n+\ln\left(1-\frac1n\right)=o\left(\frac1{n^2}\right)</math> donc la série <math>\sum_{n\ge1}u_n</math> converge.
:<math>\sum_{k=1}^nu_k=1+a_n</math> donc <math>a_n\to\sum_{k=2}^n\left(\frac1k-\ln k+\ln(k-1)\right)=H_n-\ln nge1}u_n</math>.
donc <math>H_n-\ln n\to\sum_{n\ge1}u_n</math>.
}}
{{Wikipédia|Constante d'Euler-Mascheroni}}