« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions
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Ligne 82 :
Le premier exemple de référence '''à connaître''' est :
*L'intégrale impropre<div style="text-align: center;"><math>\int_1^{+\infty}
*L'intégrale (impropre en <math>0</math> si <math>\alpha>0</math>)<div style="text-align: center;"><math>\int_0^1\frac1{s^\alpha}\,\mathrm ds</math></div>converge si et seulement si <math>\alpha<1</math>.
▲ | contenu = Soit <math>\alpha\in \R_+^*</math>.
}}
▲* <math>\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm dt}{t^{\alpha}}</math> converge si, et seulement si <math>\alpha > 1</math>.
{{Démonstration déroulante|contenu=Il suffit d'étudier la première intégrale, car la seconde s'en déduit par le changement de variable <math>t=\frac1s</math> et le remplacement de <math>\alpha</math> par <math>2-\alpha</math>.
Si <math>\alpha\ne1</math>, une primitive de <math>t^{-\alpha}</math> est <math>\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}</math>, qui a une limite finie en <math>+\infty</math> si et seulement si <math>1-\alpha<0</math>.
Quant à la primitive <math>\ln t</math> de <math>t^{-1}</math>, sa limite en <math>+\infty</math> est infinie.
}}
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