« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions
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Ligne 14 :
== Définitions et premières propriétés ==
=== Définition ===
On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul
{{Définition
Ligne 77 :
:<math>g : x \mapsto \begin{cases} \frac{\sin x}x, & \mbox{si } x \ne 0 \\ 1 , & \mbox{si } x = 0.\end{cases}</math>
}}
==Calcul explicite==
Il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale <math>\int_a^bf(t)\,\mathrm dt</math> impropre en <math>b</math>, d'expliciter la fonction <math>x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math> par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voyez [[Intégration (mathématiques)/Intégrale et primitives]]), afin de calculer ensuite sa limite quand <math>x</math> tend vers <math>b</math>.
=== Exemple de Riemann ===
Le premier exemple de référence '''à connaître''' est :
Ligne 92 ⟶ 93 :
Quant à la primitive <math>\ln t</math> de <math>t^{-1}</math>, sa limite en <math>+\infty</math> est infinie.
}}
===Autres exemples===
*Calculer <math>\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt</math>.▼
*:On intègre par parties en posant :▼
*::<math> u'(t) = \frac1{t^2} \Rightarrow u(t) = -\frac1t</math>▼
*::<math> v(t) = \ln t \Rightarrow v'(t) = \frac1t</math>▼
*:donc <math>\forall x > 1 </math> :▼
*::<math>\int_1^x\frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt = \left[ -\frac{\ln t}t\right]_1^x+ \int_1^x \frac{\mathrm dt}{t^2}</math>.▼
*::<math>\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt = \lim_{x\to +\infty} (-\frac{\ln x}x-\frac1x+ 1)</math>▼
*:soit :▼
*Calculer <math>\int_{\mathrm e}^{+\infty}\frac1{t\ln^\alpha t}\;\mathrm dt</math> et <math>\int_1^{\mathrm e}\frac1{t\ln^\alpha t}\;\mathrm dt</math>.
*:On effectue le changement de variable <math>s=\ln t</math> donc <math>\mathrm ds=\frac1t\,\mathrm dt</math> :
*::<math>\int_a^b\frac1{t\ln^\alpha t}\,\mathrm dt=\int_{\ln a}^{\ln b}\frac1{s^\alpha}\,\mathrm ds</math>
*:et l'on est ramenés à l'exemple de Riemann {{supra|Exemple de Riemann}} donc
*:<math>\int_{\mathrm e}^{+\infty}\frac1{t\ln^\alpha t}\,\mathrm dt=\begin{cases}+\infty&\text{si }\alpha\le1\\\frac1{\alpha-1}&\text{si }\alpha>1\end{cases}\quad\text{et}\quad\int_1^{\mathrm e}\frac1{t\ln^\alpha t}\,\mathrm dt=\begin{cases}+\infty&\text{si }\alpha\ge1\\\frac1{1-\alpha}&\text{si }\alpha<1\end{cases}</math>
== Convergence absolue et théorème de comparaison ==
Ligne 198 ⟶ 216 :
On a montré au paragraphe précédent que <math>\int_1^{+\infty}\mathrm e^{-x} \;\mathrm dx</math> converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.
▲Calculer <math>\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt</math>.
▲On intègre par parties en posant :
▲:<math> u'(t) = \frac1{t^2} \Rightarrow u(t) = -\frac1t</math>
▲:<math> v(t) = \ln t \Rightarrow v'(t) = \frac1t</math>
▲donc <math>\forall x > 1 </math> :
▲:<math>\int_1^x\frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt = \left[ -\frac{\ln t}t\right]_1^x+ \int_1^x \frac{\mathrm dt}{t^2}</math>.
▲On "passe à la limite" et l'on obtient :
▲:<math>\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt = \lim_{x\to +\infty} (-\frac{\ln x}x-\frac1x+ 1)</math>
▲soit :
▲<div style="text-align: center;">{{Encadre|contenu=<math>\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt = 1</math>.}}</div>
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