|
'''Exemples :'''
1/ *Montrer que <math>\int_0^1 \frac{+\lninfty}\mathrm e^{-t}t\,;\mathrm{d}t dt</math> divergeconverge.
*:<math>\int_0^x\operatorname e^{-t}\,\mathrm dt=\left[-\operatorname e^{-t}\right]_0^x=1-\operatorname e^{-x}\xrightarrow[x\to +\infty]{}1</math>.
On remarque*Montrer que <math>\int int_0^1\frac{\ln t}t\,\mathrm dt = \frac12\ln^2 t</math> diverge.
*:<math>\int_x^1\frac{\ln t}t\,\mathrm dt=\left[\frac{\ln^2 t}2\right]_x^1=\frac{-\ln^2 x}2\xrightarrow[x\to0^+]{}-\infty</math>.
Alors : <math>\lim_{x\to 0} \int_x^1 \frac{\ln t}t\,\mathrm dt = \lim_{x\to0}\frac12(\ln^21-\ln^2x) = +\infty</math> donc l'intégrale diverge.
2/ Montrer que <math>\int_0^1 \ln t \,\mathrm dt</math> converge. ▼
On remarque que <math>\int \ln t \,\mathrm{d}t = t\ln t - t</math>. ▼
Alors : <math>\lim_{x\to 0} \int_x^1 \ln t \,\mathrm dt = \lim_{x\to 0} \left((1\ln 1 -1) - (x\ln x - x)\right) =\lim_{x\to 0} x - x\ln x - 1 = -1 </math> donc l'intégrale converge. ▼
=== Premières propriétés ===
Alors (sous réserve d'existence) :
<div style="text-align: center;">
| <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt= \int_a^c f(t)\,\mathrm dt+ \int_c^b f(t)\,\mathrm dt</math>. ▼ {{Résultat
▲ | <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt= \int_a^c f(t)\,\mathrm dt+ \int_c^b f(t)\,\mathrm dt</math>.
</div>
}}
<u>Remarque :</u> Il faut "couper" pour connaître la nature d’une intégrale généralisée.
<br />Par exemple, on a :
<math>\int_{-x}^x \sin t\,\mathrm dt= 0 \;\forall x \in\R</math> converge et pourtant
<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \sin t\,\mathrm dt</math> diverge (<math>x \mapsto -\cos x</math> est une primitive de <math> x\mapsto \sin x</math> et n'a pas de limite en l'infini).
}}
==Calcul explicite==
IlComme dans les deux premiers exemples [[#Définition|ci-dessus]], il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale <math>\int_a^bf(t)\,\mathrm dt</math> impropre en <math>b</math>, d'expliciter la fonction <math>x\mapsto\int_a^xf(t)\,\mathrm dt</math> par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voyez [[Intégration (mathématiques)/Intégrale et primitives]]), afin de calculer ensuite sa limite quand <math>x</math> tend vers <math>b</math>.
=== Exemple de Riemann ===
===Autres exemples===
*Calculer <math>\int_0^1 \ln t \,\mathrm dt</math>.
{{Solution|contenu=
▲Alors : <math> \lim_{x\to 0} \int_x^1 \ln t \,\mathrm dt = \ lim_{xleft[t\ to 0}ln t-t\ left(right]_x^1=(1\ln 1 -1) - (x\ln x - x) \right) = \lim_{x\to 0} x - x\ln x - 1 = -1 </math> donc l'intégrale converge.
▲On remarque que :<math>\ intint_0^1 \ln t \,\mathrm dt=\lim_{ dx\to0} t(x =- tx\ln tx - t1)=-1</math>.
*Calculer <math>\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt</math>.
{{Solution|contenu=
*:On intègre par parties en posant :
*::<math> u'(t) = \frac1{t^2} \Rightarrow u(t) = -\frac1t</math>
*::<math> vu'(t) = \ln frac1{t^2} \Rightarrow v'u(t) = -\frac1t</math>
*:donc <math> v(t) = \forallln xt >\Rightarrow 1v'(t) = \frac1t</math> :
*donc <math>\forall x > 1 </math> :
:<math>\int_1^x\frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt = \left[ -\frac{\ln t}t\right]_1^x+ \int_1^x \frac{\mathrm dt}{t^2}</math>.
*:On passe à la limite et l'on obtient :
*::<math>\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt = \lim_{x\to +\infty} (-\frac{\ln x}x-\frac1x+ 1)</math>.
}}
*::Montrer que <math>\int_1int_{\mathrm e}^{+\infty} \fracfrac1{t\ln^\beta t}{t^2}\;\mathrm dt</math> =converge si et seulement si <math>\beta>1</math>.
{{Solution|contenu=
*Calculer <math>\int_{\mathrm e}^{+\infty}\frac1{t\ln^\alpha t}\;\mathrm dt</math> et <math>\int_1^{\mathrm e}\frac1{t\ln^\alpha t}\;\mathrm dt</math>. ▼*:On effectue le changement de variable <math>s=\ln t</math> donc <math>\mathrm ds=\frac1t\,\mathrm dt</math> :
*::<math>\int_a^b\frac1{t\ln^\alphabeta t}\,\mathrm dt=\int_{\ln a}^{\ln b}\frac1{s^\alphabeta}\,\mathrm ds</math>
*:et l'onnous estsommes ramenés à l'exemple de Riemann {{supra|Exemple de Riemann}} donc
*:<math>\int_{\mathrm e}^{+\infty}\frac1{t\ln^\alphabeta t}\,\mathrm dt=\begin{cases}+\infty&\text{si }\alphabeta\le1\\\frac1{\alphabeta-1}&\text{si }\alphabeta>1\end{cases}\quad\text{et}\quad\int_1^{\mathrm e}\frac1{t\ln^\alpha t}\,\mathrm dt=\begin{cases}+\infty&\text{si }\alpha\ge1\\\frac1{1-\alpha}&\text{si }\alpha<1.\end{cases}</math>
}}
== Convergence absolue et théorème de comparaison ==
}}
Voici maintenant le théorème central dude coursce paragraphe :
{{Théorème
Soient <math>F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm dt</math> et <math>G : x \mapsto \int_a^x g(t)\,\mathrm dt</math>.
Par comparaison d'intégrales, <math>f\le g \Rightarrow F\le G\;(\star)</math> . Donc si <math>\int_a^b g(t)\,\mathrm dt</math> converge, alors <math>G</math> converge et est donc majorée (d'après le lemme), ce qui implique d’après <math>(\star)</math> que <math>F</math> aussi et donc (toujours grâce au lemme) que <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> converge.
}}
''';Exemple :'''
▲2/ :Montrer que <math>\int_0^ 1{+\infty} \ lnmathrm e^{-t ^2} \ ,;\mathrm dt</math> converge.
{{Solution|contenu=
Pour tout <math>t\ge1</math>, on a <math>t^2\ge t</math> donc <math>0\le\operatorname e^{-t^2}\le\operatorname e^{-t}</math>.
MontrerOr que<math>\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-t}\;\mathrm dt</math> converge. Donc <math>\int_1int_0^{+\infty} \mathrm e^{-t^2} \;\mathrm dt</math> converge aussi.
}}
On rappelle que le "« problème " » est sur la borne d’en haut <math>b</math> (c'est donc en <math>b</math> que l’on effectue la comparaison de <math>f</math> et <math>g</math>) : ▼On remarque que :
<math>\begin{align}
\forall t \ge 1, t^2 \ge t &\Rightarrow -t^2 \le -t\\
&\Rightarrow 0\le \mathrm e^{-t^2} \le \mathrm e^{-t}\\
&\Rightarrow 0\le \int_1^x \mathrm e^{-t^2} \mathrm dt \le \int_1^x \mathrm e^{-t}\,\mathrm dt.
\end{align}</math>
Mais <math>\int_1^x \mathrm e^{-t}\,\mathrm dt= [-\mathrm e^{-t}]_1^x = \frac1{\mathrm e} - \mathrm e^{-x} \xrightarrow[x\to +\infty]{} \frac1{\mathrm e}</math> donc <math>\int_1^{+\infty} \mathrm e^{-t} \;\mathrm dt</math> converge et <math>\int_1^{+\infty} \mathrm e^{-t^2} \;\mathrm dt</math> converge aussi.
▲On rappelle que le "problème" est sur la borne d’en haut <math>b</math> (c'est donc en <math>b</math> que l’on effectue la comparaison de <math>f</math> et <math>g</math>) :
{{Corollaire
| titre = Corollaire : Intégrationintégration des relations de comparaison
| contenu =
Soient <math>f</math> et <math>g</math> deux fonctions continues par morceaux et '''positives''' sur <math>[a,b[</math>.
#On suppose que <math>f\underset{b}{=} O(g)</math> (ce qui est vrai en particulier si <math>f\underset{b}{=} o(g)</math>).
#* Si <math>\int_a^b g(t)\,\mathrm dt</math> converge, alors <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> converge aussi.
'''1/''' On suppose que <math>f \underset{b}{=} O(g)</math>.
#* Si <math>\int_a^b gf(t)\,\mathrm dt</math> convergediverge, alors <math>\int_a^b fg(t)\,\mathrm dt</math> convergediverge aussi.
* #Si <math>f\underset b{\sim} g</math>, alors les intégrales <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> diverge, alorset <math>\int_a^b g(t)\,\mathrm dt</math> divergesont ausside même nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes).
'''2/''' Si <math>f\underset b{\sim} g</math> , alors les intégrales <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> et <math>\int_a^b g(t)\,\mathrm dt</math> sont de même nature (soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes).
}}
Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison]].
{{Démonstration déroulante|contenu =
'''1/''' Il suffit d’utiliser la définitionpositivité de <math>f \underset b{=} O(g)</math> :et sila définition de <math>f\underset b{= \varphi }O(g)</math> , alors: <math>\exist M>0\quad\forall x c\in [a,b[ \;\varphi(x) \lequad M \Rightarrow in\exist M>0R\quad\forall x \in [ac,b[\quad0\le \;f(x) \le Mg(x) \;(1)</math>. Cette inégalité et le théorème de comparaison permettent de conclure.
'''2/''' On remarquera queSi <math>f\underset b{\sim} g </math> \iffalors <math>f \underset b{=} O(g) \text{ et } g \underset{b}{=} O(f)</math> ., Once utilisequi alorspermet d'appliquer le point précédent. ▼L'inégalité <math>(1)</math> et le théorème de comparaison permettent de conclure.
}}
'''Exemples :'''
▲'''2/''' On remarquera que <math>f\underset b{\sim} g \iff f \underset b{=} O(g) \text{ et } g \underset{b}{=} O(f)</math>. On utilise alors le point précédent.
'''Exemple :''' *Montrer que <math>\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm dt}{\sqrt{t^4-1}}</math> converge. ▼
{{Solution|contenu=
<u> Remarque :</u> Pour obtenir <math>(1)</math> , on a multiplié les deux membres par <math>g(x)</math> dans l'inégalité <math>\varphi(x) \ge M</math>. C'est possible car la fonction <math>g</math> est positive. }}
Puisque <math>t^4-1\;\underset{+\infty}{\sim}\;t^4</math>, on a <math>\frac1{\sqrt{t^4-1}} \;\underset{+\infty}{\sim}\; \frac1{t^2}>0</math>. L'exemple de Riemann {{supra|Exemple de Riemann}} permet alors de conclure.
}}
▲'''Exemple :''' Montrer que <math>\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm dt}{\sqrt{t^4-1}}</math> converge.
*'''Intégrales de [[w:Joseph Bertrand|Bertrand]]'''. Démontrer que :
On remarque que **<math>\frac1int_{\sqrt{t^4-1}}rm \;\undersete}^{+\infty}\frac1{t^{\simalpha}\; ln^{\frac1{beta}t^2}\,\mathrm dt</math>. L'exempleconverge desi Riemannet permetseulement alorssi deα conclure.> 1 ou (α = 1 et β > 1) ;
**<math>\int_0^{1/{\rm e}}\frac1{s^{\gamma}|\ln(s)|^{\beta}}\,\mathrm ds</math> converge si et seulement si γ < 1 ou (γ = 1 et β > 1).
{{Solution|contenu=
Comme dans l'exemple de Riemann {{supra|Exemple de Riemann}}, il suffit d'étudier la première intégrale.
*Pour α = 1, on a vu [[#Autres exemples|ci-dessus]] que
▲* Calculer :<math>\int_{\mathrm e}^{+\infty}\frac1{t\ln^\ alphabeta t}\;\mathrm dt</math> converge si et <math>\int_1^{\mathrmseulement e}\frac1{t\ln^\alphasi t}\;\mathrmβ dt</math> 1.
*Pour α ≠ 1, les conclusions s'obtiennent par comparaison avec des intégrales convergentes ou divergentes du cas α = 1<ref>Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple {{Ouvrage|titre=Maths MP Tout en un|auteur1=B. Beck|auteur2=I. Selon|auteur3=C. Feuillet|éditeur=Hachette Éducation|year=2006|url=https://books.google.fr/books?id=_gnXWziBhT8C&pg=PA305|page=305}}.</ref> (les fonctions considérées sont bien positives) :
**[[Fonction logarithme/Croissances comparées|si α > 1, alors]] <math>\frac1{t^{\alpha}\ln^{\beta}t}=o\left(\frac1{t\ln^2t}\right)</math> et l'intégrale converge ;
**si α < 1, alors <math>\frac1t=o\left(\frac1{t^{\alpha}\ln^{\beta}t}\right)</math> donc l'intégrale diverge.
}}
Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue.
{{Définition
| titre = Définition : Convergenceconvergence absolue
| contenu =
Soit <math>f\in \mathcal{CM}([a,b[)</math>.
Remarquez que la réciproque est fausse : on parle alors de '''semi-convergence'''.
'''Exemple :''' Montrer que l'intégrale <math>\int_1int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x} \sin x \;\mathrm dx</math> est absolument convergente.
Il suffit de remarquer que <math>|\sin x| \le 1 \; \forall x\in \R \Rightarrow quad|\mathrm e^{-x} \sin x |\le\mathrm e^{-x}</math> et <math>\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x} \;\mathrm dx</math> converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.
==Note==
On a montré au paragraphe précédent que <math>\int_1^{+\infty}\mathrm e^{-x} \;\mathrm dx</math> converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.
{{Références}}
{{Bas de page
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