« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions

<math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> converge si, (et seulement si,) la fonction <math>F : x\mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm dt</math> est majorée sur <math>[a,b[</math>.

<math>F</math> est unecroissante primitiveet, desi <math>f</math>\int_a^b et <math>f = F'(t)\ge0,\mathrm dt</math> doncconverge, <math>F</math> est croissantemajorée. (etLe majorée)[[Fonctions d'une variable réelle/Limites|théorème de la limite monotone]] permet alors de conclure.

Soient <math>f</math> et <math>g</math> deux fonctions continues par morceaux et '''positives''' sur <math>\left[a,b\right[</math> et telles que <math>0\le f\le g</math>.

Par comparaison d'intégrales, <math>f\le g \Rightarrow F\le G\;(\star)</math>. DoncOr si <math>\int_a^b g(t)\,\mathrm dt</math> converge, alors <math>G</math> converge et est donc majorée (d'après le lemme), ce qui implique d’après <math>(\star)</math> que <math>F</math> aussi et donc (toujours grâce au lemme) que <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> converge.

'''1/''' Il suffit d’utiliser la positivité de <math>f</math> et <math>g</math> et la définition de <math>f\,\underset b{=}\,O(g)</math> : <math>\exist c\in\left[a,b\right[\quad M\in\R\quad\forall x\in\left[c,b\right[\quad0\le f(x)\le Mg(x)</math>. Cette inégalité et le théorème de comparaison permettent de conclure.

'''2/''' Si <math>f\underset b{\sim} g</math> alors <math>f \,\underset b{=}\,O(g)\text{ et }g\,\underset{ b}{=}\,O(f)</math>, ce qui permet d'appliquer le point précédent.