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« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions

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m →‎Théorème de comparaison pour les intégrales généralisées : modèle ouvrage moins souple que sur wp
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}}
 
===AutresAutre exemplesexemple===
*CalculerMontrer que <math>\int_1int_{\mathrm e}^{+\infty} \fracfrac1{t\ln^\beta t}{t^2}\;\mathrm dt</math> converge si et seulement si <math>\beta>1</math>.
{{Solution|contenu=
On intègre par parties en posant :
:<math> u'(t) = \frac1{t^2} \Rightarrow u(t) = -\frac1t</math>
:<math> v(t) = \ln t \Rightarrow v'(t) = \frac1t</math>
donc <math>\forall x > 1 </math> :
:<math>\int_1^x\frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt = \left[ -\frac{\ln t}t\right]_1^x+ \int_1^x \frac{\mathrm dt}{t^2}</math>.
soit :
:<math>\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\;\mathrm dt = 1</math>.
}}
*Montrer que <math>\int_{\mathrm e}^{+\infty}\frac1{t\ln^\beta t}\;\mathrm dt</math> converge si et seulement si <math>\beta>1</math>.
{{Solution|contenu=
On effectue le changement de variable <math>s=\ln t</math> donc <math>\mathrm ds=\frac1t\,\mathrm dt</math> :
Ligne 178 ⟶ 168 :
{{Solution|contenu=
Comme dans l'exemple de Riemann {{supra|Exemple de Riemann}}, il suffit d'étudier la première intégrale.
*Pour α = 1, on a vu [[#AutresAutre exemplesexemple|ci-dessus]] que
*:<math>\int_{\mathrm e}^{+\infty}\frac1{t\ln^\beta t}\;\mathrm dt</math> converge si et seulement si β > 1.
*Pour α ≠ 1, les conclusions s'obtiennent par comparaison avec des intégrales convergentes ou divergentes du cas α = 1<ref>Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple {{Ouvrage|titre=Maths MP Tout en un|prénom1=B.|nom1=Beck|prénom2=I.|nom2=Selon|prénom3=C.|nom3=Feuillet|éditeur=Hachette Éducation|année=2006|url=https://books.google.fr/books?id=_gnXWziBhT8C&pg=PA305|passage=305}}.</ref> (les fonctions considérées sont bien positives) :
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