« Série numérique/Propriétés » : différence entre les versions
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Critère d'Abel |
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==Critère de [[Histoire des mathématiques/Quelques mathématiciens célèbres|Cauchy]]==
Le critère de convergence suivant est un corollaire immédiat du théorème correspondant sur les [[Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées#Suite de Cauchy|suites de Cauchy]].
{{Théorème|contenu=Une série numérique <math>\sum_{n=0}^{+\infty}u_n</math> converge si (et seulement si) :
:<math>\forall\varepsilon>0\quad\exists N\in\N\quad\forall q>p\ge N\quad\left|S_q-S_p\right|=\left|\sum_{k=p+1}^qu_k\right|<\varepsilon.</math>}}
==Critère d'[[w:Niels Henrik Abel|Abel]]==
{{Théorème|contenu={{Wikipédia|Critère de convergence des séries alternées}}
Soit <math>(u_n)</math> une suite numérique décroissante et de limite nulle. Alors <math>\sum(-1)^nu_n</math> converge.
}}
En effet, les deux sous-suites <math>(S_{2n})</math> et <math>(S_{2n+1})</math> de la suite <math>(S_n)</math> des sommes partielles sont alors [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes|adjacentes]].
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