Étudier la nature de l'intégrale <math>\int_1^{+\infty}\frac{|\sin(2\pi t)|}t\;\mathrm dt</math> et de la série <math>\sum_{k\ge 1}\frac{|\sin(2 \pi k)|}k</math>.
''Indication'' : Pour l'intégrale, vous pouvez penser à utiliser la décomposition <math>\int_1^Nf(t)\;\mathrm dt=\sum_{k=12}^{N-1}\int_k^int_{k+-1}f^kf(t)\;\mathrm dt</math>.
{{Solution|contenu=
La somme <math>\sum_{k\ge1}\frac{|\sin(2\pi k)|}k=0</math> est nulle car <math>|\sin(2\pi k)|=0</math> alorsmais nous allons montrer que <math>\int_1^{+\infty}\frac{|\sin(2\pi t)|}t\;\mathrm dt\ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\lim_{N\to+\infty}</math> (donc la fonction positive <math>t\int_1^Nmapsto\frac{|\sin(2\pi t)|}t\;\mathrm dt=+\infty</math> n’est pas monotone à partir d'un certain seuil).
Soit <math>N</math> un entier <math>\ge1in\N^*</math> :▼
La fonction <math>t\mapsto\frac{|\sin(2\pi t)|}t</math> est bien positive sur <math>\left[1,+\infty\right[</math> mais elle n’est pas décroissante.
Donc <math>\int_1^N\frac{|\sin(\pi t)|}t\;\mathrm dt\ge\frac2{\pi}\sum_{k=2}^N\frac1k\;\xrightarrow[N\to+\infty]{}+\infty</math> car la [[Série numérique/Exercices/Série harmonique|série harmonique]] diverge.
▲<math>k\le t\le k+1</math> alors <math>\frac1{k+1}\le\frac1t\le\frac1k</math>, d'où :
