« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions

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règle d'Abel
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*'''Intégrales de [[w:Joseph Bertrand|Bertrand]]'''. Démontrer que :
**<math>\int_{\rm e}^{+\infty}\frac1{t^{\alpha}\ln^{\beta}t}\,\mathrm dt</math> converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1) ;
**<math>\int_0^{1/{\rm e}}\frac1{s^{\gamma}|\ln( s)|^{\beta}}\,\mathrm ds</math> converge si et seulement si γ < 1 ou (γ = 1 et β > 1).
{{Solution|contenu=
Comme dans l'exemple de Riemann {{supra|Exemple de Riemann}}, il suffit d'étudier la première intégrale.
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<math>\forall x\in \R\quad|\mathrm e^{-x} \sin x |\le\operatorname e^{-x}</math> et <math>\int_0^{+\infty}\operatorname e^{-x} \;\mathrm dx</math> converge. Le théorème de comparaison permet de conclure.
}}
 
==Règle d'Abel==
{{Théorème|contenu=Soient <math>g</math> localement Riemann-intégrable sur <math>\left[a,b\right[</math> et <math>f</math> décroissante et de limite nulle en <math>b</math>. Si la fonction <math>x\mapsto\int_a^xg</math> est [[Fonctions d'une variable réelle/Définitions#Majorants, minorants|bornée]], alors l'intégrale <math>\int_a^bfg</math> converge.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Notons <math>G</math> la fonction <math>x\mapsto\int_a^xg</math>, <math>M</math> un majorant de <math>|G|</math> et, pour tout <math>\varepsilon>0</math>, <math>\left[c_\varepsilon,b\right[</math> un sous-intervalle de <math>\left[a,b\right[</math>, sur lequel <math>f\le\frac\varepsilon{2M}</math>.
 
D'après la [[w:seconde formule de la moyenne|seconde formule de la moyenne]],
<div style="text-align: center;">
<math>\forall[x,y]\subset\left[a,b\right[\quad\exists z\in[x,y]\quad\int_x^yfg=\left(G(z)-G(x)\right)f(x)</math>.
</div>
donc
<div style="text-align: center;">
<math>\forall[x,y]\subset\left[c_\varepsilon,b\right[\quad\left|\int_x^yfg\right|\le2Mf(x)\le\varepsilon</math>
</div>
et le [[Topologie générale/Complétude#Espace complet|critère de Cauchy]] est satisfait.
 
;Remarque
:Si <math>f</math> est [[w:Absolue continuité|absolument continue]] (en particulier si elle est de [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité#Classes de régularité|classe C{{exp|1}}]]), on peut aussi raisonner par intégration par parties puis convergence absolue :<center><math>\int_a^xfg=[fG]_a^x-\int_a^xf'G=f(x)G(x)-f(a)G(a)-\int_a^xf'G</math>,</center><math>\lim_{b-}fG=0</math> et<center><math>\int_a^b|f'G|\le M\int_a^b|f'|=M\int_a^b-f'=M[-f]_a^b=Mf(a)<\infty.</math></center>
}}