« Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet » : différence entre les versions
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#Démontrer que l'intégrale impropre <math>\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}\,\mathrm dx</math> est absolument convergente.
#À l'aide d'une intégration par parties, en déduire que l'intégrale de [[w:Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] <math>\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx</math> est convergente.
#Retrouver ce résultat à l'aide de la [[../../Intégrales généralisées#Règle d'Abel|règle d'Abel pour les intégrales]].
#Démontrer que <math>\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx=\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}\,\mathrm dx=\int_0^{+\infty}\left(\frac{\sin x}x\right)^2\,\mathrm dx</math>.
{{Solution|contenu=
#Cette intégrale est faussement impropre en <math>0</math> car <math>\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12</math>. En <math>+\infty</math>, elle est absolument convergente car <math>\int_1^{+\infty}\frac{|1-\cos x|}{x^2}\,\mathrm dx\le\int_1^{+\infty}\frac2{x^2}\,\mathrm dx<+\infty</math>.
#Pour <math>0<\varepsilon<A</math>,
#:<math>\begin{align}\int_{\varepsilon}^A\frac{\sin x}x\,\mathrm dx&=\left[\frac{1-\cos(x)}x\right]_\varepsilon^A+\int_\varepsilon^A\frac{1-\cos x}{x^2}\,\mathrm dx\\&=\frac{1-\cos A}A-\frac{1-\cos\varepsilon}\varepsilon+\int_\varepsilon^A\frac{1-\cos x}{x^2}\,\mathrm dx\\
&\;\xrightarrow[\varepsilon\to0^+,A\to+\infty]{}0-0+\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}\,\mathrm dx.\end{align}</math>
#:Donc l'intégrale de Dirichlet est convergente (non absolument : cf. [[Série numérique/Exercices/Comparaison Série-Intégrale#Exercice 1]]).
#L'intégrale <math>\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx</math> est faussement impropre en <math>0</math> car <math>\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1</math>. En <math>+\infty</math>, la règle d'Abel s'applique car <math>x\mapsto\frac1x</math> est décroissante sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> et de limite nulle en <math>+\infty</math>, et la fonction <math>x\mapsto\int_0^x\sin t\,\mathrm dt=1-\cos x</math> est bornée. Donc l'intégrale de Dirichlet est convergente.
#D'après les calculs de la question 2, <math>\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx</math> est égale à <math>\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}\,\mathrm dx</math>, ou encore à <math>\int_0^{+\infty}\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}\,\mathrm dx=\int_0^{+\infty}\left(\frac{\sin y}y\right)^2\,\mathrm dy.</math>
}}
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| idfaculté = mathématiques
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