« Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet » : différence entre les versions

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<div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅱ —''' </span></div>
#Démontrer qu'en tout réel <math>s\notin2\pi\Z</math>, le [[w:Noyau de Dirichlet|noyau de Dirichlet]] <math>D_n(s):=\sum_{k=-n}^n\operatorname e^{\mathrm iks}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(ks)</math> est égal à <math>\frac{\sin\frac{(2n+1)s}2}{\sin\frac s2}</math>.
#En déduire que <math>\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{\sin\big((2n+1)t\big)}{\sin t}\,\mathrm dt=\frac\pi2</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>\begin{align}\sum_{k=-n}^n\operatorname e^{\mathrm iks}&=\operatorname e^{-\mathrm ins}\,\frac{\operatorname e^{\mathrm i(2n+1)s}-1}{\operatorname e^{\mathrm is}-1}\\
&=\operatorname e^{-\mathrm ins}\,\frac{\operatorname e^{\mathrm i(2n+1)s/2}\left(\operatorname e^{\mathrm i(2n+1)s/2}-\operatorname e^{-\mathrm i(2n+1)s/2}\right)}{\operatorname e^{\mathrm is/2}\left(\operatorname e^{\mathrm is/2}-\operatorname e^{-\mathrm is/2}\right)}\\
&=\operatorname e^{\mathrm is\left(-n+\frac{2n+1}2-\frac12\right)}\,\frac{2\mathrm i\sin\frac{(2n+1)s}2}{2\mathrm i\sin\frac s2}\\
&=\frac{\sin\frac{(2n+1)s}2}{\sin\frac s2}.\end{align}</math>
#<math>\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{\sin\big((2n+1)t\big)}{\sin t}\,\mathrm dt=\int_0^{\frac{\pi}2}D_n(2t)\,\mathrm dt=\int_0^{\frac{\pi}2}\left(1+2\sum_{k=1}^n\cos(2kt)\right)\,\mathrm dt=\frac\pi2+2\sum_{k=1}^n0</math>.
}}
<div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅲ —''' </span></div>
#Soit <math>f:\left]0,\frac\pi2\right]\to\R,\,x\mapsto\frac1t-\frac1{\sin t}</math>. Démontrer que <math>\int_0^{\frac\pi2}|f(t)|\,\mathrm dt<+\infty</math>.
#D'après le [[Série de Fourier/Généralités#Propriétés des coefficients de Fourier de .7F.27.22.60UNIQ--postMath-00000001-QINU.60.22.27.7F|lemme de Riemann-Lebesgue]], on a donc :
#::<math>\lim_{k\to\infty}\int_0^{\frac\pi2} f(t)\sin(kt)\,\mathrm dt=0</math>.
#:En déduire, à l'aide du Ⅱ, que <math>\lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{\sin\big((2n+1)t\big)}t\,\mathrm dt=\frac\pi2</math>.
#Retrouver ainsi que l'intégrale de Dirichlet converge et préciser sa valeur.
{{Solution|contenu=
#<math>f</math> est continue et l'intégrale est faussement impropre en <math>0</math> car <math>f(x)=\frac{(\sin t)-t}{t\sin t}\sim_0\frac{-t^3/6}{t^2}=-\frac t6</math>.
#<math>\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{\sin\big((2n+1)t\big)}t\,\mathrm dt=\int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin\big((2n+1)t\big)}{\sin t}\,\mathrm dt+\int_0^{\frac\pi2}f(t)\sin\big((2n+1)t\big)\,\mathrm dt\to\frac\pi2+0</math>.
#Comme <math>x\mapsto\frac{\sin x}x</math> est nulle à l'infini, pour étudier la limite éventuelle de son intégrale de <math>0</math> à <math>A</math> quand <math>A\to+\infty</math>, il suffit de le faire pour <math>A</math> parcourant les valeurs d'une suite arithmétique arbitraire.
#::<math>\int_0^{\frac\pi2+n\pi}\sin x\,\frac{\mathrm dx}x=\int_0^{\frac\pi2}\sin\big((2n+1)t\big)\,\frac{\mathrm dt}t\to\frac\pi2</math>
#:donc l'intégrale de Dirichlet converge et <math>\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx=\frac\pi2</math>.
}}
 
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