« Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 » : différence entre les versions

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Ligne 9 :
Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :
 
* <math>\sum_{n \ge 2} (\ln (n))x^n</math>
 
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
IlOn fautpeut utiliser le critère de d'Alembert. Soit <math>a_n = \ln( n)</math>
 
<math>\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{\ln(n+1)}{\ln( n)}.</math> Or <math>\lim_{n\to \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = 1 = :\lambda</math>.
 
Le rayon de convergence est égal à <math>R=\tfrac{1}tfrac1{\lambda}=1</math> donc RCV = 1.
}}
 
Ligne 25 :
{{Solution
| contenu =
Soit <math>b_n = \frac{n^n}{n!}.</math>. D'Alembert : <math>\left| \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\times \right|frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} =(1+\tfrac1n)^n\to\mathrm e</math> donc <math>R=\frac1{\mathrm e}</math>.
 
<math>\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\times \frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \frac{(n(1+\tfrac{1}{n}))^n}{n^n} = (1+\tfrac{1}{n})^n.</math>
 
Et <math>\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\tfrac{1}{n})^n = e</math>
 
<math>R = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{e}</math>
}}
 
* <math>\sum_{n \ge 2}\frac{n \ln( n)}{n^2+1}x^n</math>
{{Solution
| contenu =
Soit <math>c_n = \frac{n \ln( n)}{n^2+1}.\sim\frac{\ln n}n</math>. D'Alembert : <math>\left| \frac{c_{n+1}}{c_n}\sim\frac{\ln(n+1)}{n+1} \right|times \frac n{\ln n}\sim\frac{\ln(n+1)}{\ln n}</math> donc <math>R=1</math>, comme pour la première série entière <math>\sum_{n \ge 2} (\ln n)x^n</math> ci-dessus.
 
<math>=\frac{(n+1)\ln(n+1)}{(n+1)^2+1} \times \frac{n^2+1}{n\ln(n)}</math>
 
 
<math>=\frac{n\ln(n(1+\tfrac{1}{n})) + \ln(n(1+\tfrac{1}{n}))}{n\ln(n)} \times \frac{n^2+1}{n^2+2n+2}</math>
 
 
<math>= \frac{n\ln(n) + n\ln(1+\tfrac{1}{n}) + \ln(n) + \ln(1+\tfrac{1}{n})}{n\ln(n)} \times \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})}</math>
 
 
<math>= \left( 1 + \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} + \frac{1}{n} + \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{n\ln(n)} \right) \times \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})}</math>
 
 
Et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{n\ln(n)} = 0</math> et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})} = 1</math> donc <math>\lambda = 1</math> donc <math>R = 1</math>
}}
 
* <math>\sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math>
 
{{Solution
| contenu =
C'est bien une série entière de la forme <math>\sum_{n \ge 0} d_n x^n</math> mais on ne peut donc pas appliquer directement la règle de d'Alembert ! Les rapports <math>\tfrac{d_{2k}}{d_{2k-1}}</math> ne sont pas définis car <math>d_{2k-1}=0</math>. On considère donc la série entière de la variable y, <math>\sum_{n \ge 0} \frac1{\binom{2n}n} y^n</math>, de la forme <math>\sum_{n \ge 0} b_n y^n, b_n = \frac1{\binom{2n}n} \ne 0.</math>
C'est bien une série entière de la forme <math>\sum_{n \ge 0} d_n x^n</math> mais
 
<math>d_n = \begin{cases}
0, & \mbox{si }n\mbox{ est impair} \\
\frac{1}{\binom{2k}{k}} = \frac{1}{\binom{n/2}{n}}, & \mbox{si }n\mbox{ est pair}\quad n=2k.
\end{cases}</math>
 
On ne peut donc pas appliquer la règle de d'Alembert ! Le rapport <math>\tfrac{d_{n+1}}{d_n}</math> n’est pas défini si <math>n</math> est pair. Pour <math>x</math> un réel fixé et non nul, on étudie la convergence absolue de la série numérique <math>\sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math>. Posons <math>u_n = \frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math> et étudions la nature de la série à termes positifs <math>\sum_{n \ge 0} |u_n|</math>
 
 
<math>\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \frac{x^{2(n+1)}}{\binom{2(n+1)}{n+1}} \times \frac{\binom{2n}{n}}{x^{2n}}</math>
 
<math>= \frac{x^{2n}x^2}{x^{2n}} \times \frac{\tfrac{(2n)!}{n!n!}}{\tfrac{(2(n+1))!}{(n+1)!(n+1)!}} = x^2\times \frac{(2n)!}{n!n!} \times\frac{n!(n+1)n!(n+1)}{(2n)!(2n+1)(2n+2)}</math>
 
<math>=x^2\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}</math>
 
 
Et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{1}{4}.</math> D'après le critère de d'Alembert, si <math>\frac{x^2}{4} < 1</math>, ce qui équivaut à <math>x^2 < 4</math>, ce qui équivaut à <math>x < |2|</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0} u_n</math> converge absolument.
 
En revanche, si <math>|x| > 2, \sum_{n \ge 0} |u_n|</math> diverge (grossièrement) donc <math>\sum_{n \ge 0} u_n</math> diverge.
 
Ainsi,
 
* Si <math>|x| < 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math> converge absolument,
* si <math>|x| > 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math> diverge.
 
On en déduit que <math>R = 2</math>.
 
 
'''Autre méthode ''' : on considère la série entière de la variable y, <math>\sum_{n \ge 0} \frac{1}{\binom{2n}{n}} y^n</math>, de la forme <math>\sum_{n \ge 0} b_n y^n, b_n = \frac{1}{\binom{2n}{n}} \ne 0.</math>
 
On peut appliquer le critère de d'Alembert pour déterminer son rayon de convergence.
:<math>\frac{|u_b_{n+1}|}{|u_n|b_n} = \frac{x^\binom{2(2n}n+1)}}{\binom{2(n+1)}{n+1}} \times= \frac{\binom{(2n)!}{(2(n+1))!} \times\frac{((n+1)!)^2}{x(n!)^2}=\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}}\to\frac14</math>
donc <math>\sum_{n \ge 0} b_n y^n</math> a pour rayon de convergence 4.
* Si <math>|xy| < 24,\ \sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}frac1{\binom{2n}{n}}y^n</math> converge absolument,
* si <math>|xy| > 4,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}frac1{\binom{2n}{n}}y^n</math> diverge.
 
En posant <math>y = x^2</math>, on en déduit que si <math>|x^2| < 4</math>, donc
<math>\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \frac{\binom{2n}{n}}{\binom{2(n+1)}{n+1}}</math>
*si <math>|x^2| < 4</math> donc si <math>|x| < 2, \sum_{n \ge 0}\frac{1}frac1{\binom{2n}{n}}x^{2n}</math> converge absolument,
 
* si <math>|x| > 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}frac1{\binom{2n}{n}x^{2n}</math> diverge.
 
<math>= \frac{(2n)!}{(2(n+1))!} \times\frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{4}</math> donc <math>\sum_{n \ge 0} b_n y^n</math> a pour rayon de convergence 4.
 
* Si <math>|x| < 4,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}y^n</math> converge absolument,
* si <math>|x| > 4,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}y^n</math> diverge.
 
En posant <math>y = x^2</math>, on en déduit que si <math>|x^2| < 4</math>, donc
 
* si <math>|x| < 2, \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}x^{2n}</math> converge absolument,
* si <math>|x| > 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}x^{2n}</math> diverge.
 
D'où <math>R = 2.</math>
Ligne 111 ⟶ 57 :
{{Solution
| contenu =
Même obstacle et même stratégie que dans l'exemple précédent :
Les premiers termes de cette série sont : <math>x - \tfrac{5}{2} x^3 + \tfrac{25}{9} x^5 - \cdots</math> Ils s'expriment bien sous la forme <math>\sum_{n \ge 0}e_n x^n</math>, mais
:<math>\sum_{n \ge 0}(-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}x^{2n+1}=x\sum_{n \ge 0}b_ny^n</math> avec <math>y=x^2</math> et <math>b_n=(-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}</math>.
 
:<math>\frac{(|b_{n+1)}|}{|b_n|}\sim\frac{5^{n+1}}{(n+1)!^3}\times \frac{n!^3}{n5^n} = 5\frac{(n+1)^n3}{n^n} = \frac{(n(1+\tfrac{1}{n}))^n3}{n^n} = (1+\tfrac{1}{n})^n.to5</math>
<math>e_n = \begin{cases}
donc le rayon de convergence de <math>\sum_{n \ge 0}b_ny^n</math> est <math>\frac15</math> et celui de <math>\sum_{n \ge 0}(-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}x^{2n+1}</math> est <math>\tfrac1{\sqrt5}</math>.
0, & \mbox{si }n\mbox{ est pair} \\
(-1)^k\frac{5^k}{k^3+1}, & \mbox{si }n\mbox{ est impair}\quad n=2k+1.
\end{cases}</math>
 
Pour <math>x</math> un réel fixé et non nul, on étudie la convergence absolue de la série numérique <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> ou <math>u_n = (-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}x^{2n+1}.</math>
 
<math>\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)^3+1}|x|^{2n+3} \times \frac{n^3+1}{5^n}\frac{1}{|x|^{2n+1}} </math>
 
<math>= 5x^2\frac{n^3+1}{(n+1)^3+1} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 5x^2</math>
 
D'après le critère de d'Alembert, si <math>5x^2 < 1</math>, ce qui équivaut à <math>x^2 < \tfrac{1}{5}</math>, ce qui équivaut à <math>|x| < \tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> converge absolument.
 
Si <math>5x^2 > 1</math>, ce qui équivaut à <math>|x| > \tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> diverge grossièrement. Donc le rayon de convergence de la série est <math>\tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>.
}}
 
Ligne 133 ⟶ 67 :
{{Solution
| contenu =
<math>|f_n| = |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|=|\sin(n\pi\sqrt{1+\frac1{n^2}})|=\sin(n\pi\left(\sqrt{1+\frac1{n^2}}-1\right))\sim n\pi\frac1{2n^2}=\frac{\pi}{2n}</math> donc <math>\left|\frac{f_{n+1}}{f_n}\right|\to1</math> et donc <math>R=1</math>.
 
<math>|f_n| = |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|=|\sin(n\pi\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})|</math>
donc <math> |f_n|=|\sin(n\pi(1-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))|=|\sin(n\pi-\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n})|=|\sin(\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n})|</math>
Ainsi, on a l'équivalent <math>|f_n|</math> est équivalent à <math>\frac{\pi}{2n}</math> donc le rapport <math>|\frac{f_{n+1}}{f_n}|</math> tend vers 1 et donc <math>R=1</math>
}}
 
Ligne 143 ⟶ 74 :
{{Solution
| contenu =
Posons <math>= \sum_{n \ge 0} g_n \mbox{ avec } g_n = \left( \frac{1}frac1{1+\sqrt{ n}} \right)^n</math>.
 
<math>|g_n|^{1/n} = \frac{1}frac1{1 + \sqrt{n}} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 to0^+= :\lambda.</math> .
 
<math>R = \frac{1}frac1{\lambda} = +\infty.</math>.
}}