« Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
m →‎Question 3 : rectifs typo + màj intitulé lien interne
m →‎Question 1 : rectif+mef
Ligne 9 :
== Question 1 ==
 
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle définie sur <math>\R\setminus \{-1, -2, -3\}</math> parla [[Fractions rationnelles|fraction rationnelle]]
:<math>F(xX) = \frac{2}frac2{(xX+1)(xX+2)(xX+3)}</math>.
 
{{Solution|contenu=
<math>F(x) = \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)}</math>
:<math>F(xX) = \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{a}{xX+1} + \frac{ b}{xX+2} + \frac{ c}{xX+3}\quad(*)</math>.
En multipliant <math>(*)</math> par <math>X+1</math> puis en posant <math>X=-1</math>, on trouve
:<math>a=\frac{2}frac2{((-1)+2)((-1)+3)} = a </math>, soit <math>a = 1</math>.
En multipliant par <math>X+2</math> puis en posant <math>X=-2</math>, on trouve
:<math>b=\frac{2}frac2{((-2)+1)((-2)+3)} = b </math>, soit <math>b = -2</math>.
En multipliant par <math>X+3</math> puis en posant <math>X=-3</math>, on trouve
:<math>c=\frac{2}frac2{((-3)+1)((-3)+2)} = c </math>, soit <math>c = 1</math>.
 
<math>F(xX) =\times (xfrac1{X+1) = a }+ \frac{b(x+1)-2}{xX+2} + \frac{c(x+1)}frac1{xX+3}</math>.
{{clr}}
}}
{{Solution
| contenu =
<math>F(x) = \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2} + \frac{c}{x+3}</math>
 
<math>F(x) \times (x+1) = a + \frac{b(x+1)}{x+2} + \frac{c(x+1)}{x+3}</math>
 
En posant x = -1 on isole a :
 
<math>\frac{2}{((-1)+2)((-1)+3)} = a </math>, soit <math>a = 1</math>
 
 
<math>F(x) \times (x+2) = \frac{1(x+2)}{x+1} + b + \frac{c(x+2)}{x+3}</math>
 
De même, x = -2 :
 
<math>\frac{2}{((-2)+1)((-2)+3)} = b </math>, soit <math>b = -2</math>
 
 
Puis la dernière inconnue :
 
<math>F(x) \times (x+3) = \frac{1(x+3)}{x+1} + \frac{(-2)(x+3)}{x+2} + c</math>
 
En posant x = -3 :
 
<math>\frac{2}{((-3)+1)((-3)+2)} = c </math>, soit <math>c = 1</math>
 
 
<math>F(x) = \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+1} + \frac{-2}{x+2} + \frac{1}{x+3}</math>}}
 
== Question 2 ==