« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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==Exercice 1==
Appliquer le critère d'Abel pour étudier les deux séries de terme général :
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<math>\left| \sum_{k=1}^n \sin k\right| \le M</math>pour tout entier n. On peut donc appliquer le critère d'Abel, donc la série <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{\sqrt n}</math> est convergente.}}
==Exercice 2==
Comparer la nature des deux séries alternées suivantes :
* <math>\sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{\sqrt k}</math>
{{Solution|contenu=
<math>\frac1{\sqrt k}</math> est le terme général d'une suite décroissante et de limite nulle. D'après le critère d'Abel, cette série converge.}}
* <math>\sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{\sqrt k+(-1)^k}</math>
{{Solution|contenu=
Montrons que — bien que son terme général soit équivalent à celui de la précédente — cette série diverge (ce qui prouvera que la suite <math>\frac1{\sqrt k+(-1)^k}</math> n'est pas décroissante). Pour cela, calculons terme à terme sa différence avec la série convergente précédente.
:<math>(-1)^k\left(\frac1{\sqrt k}-\frac1{\sqrt k+(-1)^k}\right)=\frac1{\sqrt k\left(\sqrt k+(-1)^k\right)}\sim\frac1k</math>.
La série des différences est donc bien (à termes positifs et) divergente puisque la [[Série numérique/Exercices/Série harmonique|série harmonique]] l'est.
}}
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