« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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Ligne 56 :
{{Solution|contenu=
Montrons que — bien que son terme général soit équivalent à celui de la précédente — cette série diverge (ce qui prouvera que la suite <math>\frac1{\sqrt k+(-1)^k}</math>, positive et de limite nulle, n'est pas décroissante à partir d'un certain rang). Pour cela, calculons terme à terme sa différence avec la série convergente précédente.
:<math>(-1)^k\left(\frac1{\sqrt k}-\frac1{\sqrt k+(-1)^k}\right)=\frac1{\sqrt k\left(\sqrt k+(-1)^k\right)}\sim\frac1k</math>.
La série des différences est donc bien (à termes positifs et) divergente puisque la [[
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==Exercice 3==
Nature de la série alternée <math>\sum\frac{1+(-1)^n\sqrt n}n</math>.
{{Solution|contenu=
Cette série est la somme d'une série divergente (la série harmonique) et d'une série convergente (la série alternée <math>\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}</math>). Elle est donc divergente (ce qui prouve que la suite <math>\frac{\sqrt n+(-1)^n}n</math>, positive et de limite nulle, n'est pas décroissante à partir d'un certain rang).
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