« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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Ligne 65 :
{{Solution|contenu=
Cette série est la somme d'une série divergente (la série harmonique) et d'une série convergente (la série alternée <math>\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}</math>). Elle est donc divergente (ce qui prouve que la suite <math>\frac{\sqrt n+(-1)^n}n</math>, positive et de limite nulle, n'est pas décroissante à partir d'un certain rang).
}}
==Exercice 4==
Nature de la série alternée <math>\sum(-1)^n\sqrt n\;\ln\frac{n+1}{n-1}</math>.
{{Solution|contenu=
En <math>+\infty</math>,
:<math>f(x):=\sqrt x\;\ln\frac{x+1}{x-1}=\sqrt x\ln\frac{1+\frac1x}{1-\frac1x}\sim\frac2{\sqrt x}\to0</math>
et
:<math>f'(x)=\frac1{2\sqrt x}\ln\frac{1+\frac1x}{1-\frac1x}-\frac{2\sqrt x}{x^2-1}\sim\frac{-1}{x\sqrt x}<0</math>
donc la série converge d'après le critère d'Abel.
}}
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