« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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Ligne 72 :
==Exercice 4==
Nature des deux séries :
Nature de la série alternée <math>\sum(-1)^n\sqrt n\;\ln\frac{n+1}{n-1}</math>.▼
*<math>\sum\sin\frac{(-1)^n}n</math> ;
{{Solution|contenu=
<math>\sin\frac{(-1)^n}n=(-1)^n\sin\frac1n</math> et la suite <math>\left(\sin\frac1n\right)</math> est décroissante et de limite nulle, donc la série converge, d'après le critère d'Abel.
}}
{{Solution|contenu=
En <math>+\infty</math>,
Ligne 78 ⟶ 83 :
et
:<math>f'(x)=\frac1{2\sqrt x}\ln\frac{1+\frac1x}{1-\frac1x}-\frac{2\sqrt x}{x^2-1}\sim\frac{-1}{x\sqrt x}<0</math>
donc la série converge, d'après le critère d'Abel.
}}
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