« Trigonométrie/Exercices/Simplification d'expressions » : différence entre les versions
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Ligne 117 :
:<math>S'=\cos x+\cos(x+r)+\cos(x+2r)+\cdots+\cos[x+(n-1)r]</math>
:que l'on se propose de simplifier.
:'''a)''' À cet effet, on calculera <math>S\sin\frac r2</math> et <math>S'\sin\frac r2</math> et l'on transformera chaque produit partiel en une différence de sinus ou de cosinus.
:'''b)''' Étudier le cas où <math>r=\frac{2\pi}n</math>
'''2°'''
:'''a)''' <math>\sin a+\sin2a+\cdots+\sin na</math>
:'''b)''' <math>1+\cos a+\cos2a+\cdots+\cos na</math>
Ligne 126 :
:'''d)''' <math>1+\cos^2a+\cos^22a+\cdots+\cos^2na</math>
{{Solution|contenu=
'''1°''' '''a)'''
:*La formule <math>\sin a\sin b=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}2</math> donne
:*::<math>\sin(x+kr)\sin\frac r2=\frac{\cos(x+(k-\frac12)r)-\cos(x+(k+\frac12)r)}2</math>
:*:donc (en sommant de <math>k=0</math> à <math>k=n-1</math> et en remarquant que [[w:Série télescopique|les termes intermédiaires s'éliminent 2 par 2]]) :
:*::<math>S\sin\frac r2=\frac{\cos(x-\frac r2)-\cos(x+(n-\frac12)r)}2</math> ;
:*:puis, la formule <math>\cos a-\cos b=2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{b-a}2</math> donne
:*::<math>S\sin\frac r2=\sin\frac{2x+(n-1)r}2\sin\frac{nr}2</math>.
:*De même, la formule <math>\cos a\sin b=\frac{\sin(a+b)-\sin(a-b)}2</math> donne
:*::<math>\cos(x+kr)\sin\frac r2=\frac{-\sin(x+(k-\frac12)r)+\sin(x+(k+\frac12)r)}2</math>
:*:donc
:*::<math>S'\sin\frac r2=\frac{\sin(x+(n-\frac12)r)-\sin(x-\frac r2)}2</math> ;
:*:puis, la formule <math>\sin a-\sin b=2\cos\left(\frac{a+b}2\right)\sin\left(\frac{a-b}2\right)</math> donne
:*::<math>S'\sin\frac r2=\cos\frac{2x+(n-1)r}2\sin\frac{nr}2</math>.
:*Finalement, on a trouvé
:*::<math>S=\frac{\sin\frac{2x+(n-1)r}2\sin\frac{nr}2}{\sin\frac r2}\text{ et }S'=\frac{\cos\frac{2x+(n-1)r}2\sin\frac{nr}2}{\sin\frac r2}</math>,
:*:sauf bien sûr si <math>\sin\frac r2=0</math>, c.-à-d. <math>r</math> multiple de <math>2\pi</math>, auquel cas <math>S=n\sin x</math> et <math>S'=n\cos x</math>.
:'''b)''' Lorsque <math>r=\frac{2\pi}n</math>, <math>\sin\frac{nr}2=0</math> donc <math>S=S'=0</math>.
'''2°''' '''a)''' Dans le cas <math>x=r=a</math>, <math>\sin a+\sin2a+\cdots+\sin na=S=\frac{\sin\frac{(n+1)a}2\sin\frac{na}2}{\sin\frac a2}</math>.
:'''b)''' Le cas <math>x=0</math> et <math>r=a</math> donne (en remplaçant <math>n</math> par <math>n+1</math> dans <math>S'</math>) <math>1+\cos a+\cos2a+\cdots+\cos na=\frac{\cos\frac{na}2\sin\frac{(n+1)a}2}{\sin\frac a2}</math>.
:'''c)''' <math>\sin^2a+\sin^22a+\cdots+\sin^2na=\frac{1-\cos2a}2+\frac{1-\cos4a}2+\dots+\frac{1-\cos2na}2=\frac{n+1}2-\frac{\cos na\sin(n+1)a}{2\sin a}</math>.
:'''d)''' <math>1+\cos^2a+\cos^22a+\cdots+\cos^2na=1+\frac{1+\cos2a}2+\frac{1+\cos4a}2+\dots+\frac{1+\cos2na}2=\frac{n+1}2+\frac{\cos na\sin(n+1)a}{2\sin a}</math> (on peut vérifier que '''c)''' + '''d)''' = ''n'' + 1).
}}
== Exercice 5-11==
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