« Trigonométrie/Exercices/Fonctions cosinus et sinus » : différence entre les versions
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== Exercice 1-1 ==
'''1°''' Expliquer par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :
▲<math>\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin(x)</math>
'''2°''' Interpréter cette propriété graphiquement pour les courbes des fonctions cos et sin.
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== Exercice 1-2 ==
Expliquer par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :
▲<math>\cos(x+\pi)=-\cos(x)</math>
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== Exercice 1-3 ==
Compléter et expliquer les formules par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :
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{{Solution}}
== Exercice 1-4 ==
Compléter et expliquer les formules par un raisonnement sur le cercle trigonométrique :
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== Exercice 1-5 ==
Résoudre l'équation :
▲<math>\cos(x)=0,5</math>
<math>0,5</math> est une [[../../Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique#Valeurs remarquables de cosinus|valeur remarquable de cosinus]] : <math>\frac12=\cos\frac\pi3</math>. Les solutions sont donc tous les réels <math>x</math> de la forme <math>\frac\pi3+2k\pi</math> ou <math>-\frac\pi3+2k\pi</math> avec <math>k</math> entier relatif.
}}
▲{{Solution}}
== Exercice 1-6 ==
Résoudre l'équation :
▲<math>\sin(x)=\frac{\sqrt3}{2}</math>
<math>\frac{\sqrt3}2</math> est une [[../../Cosinus et sinus dans le cercle trigonométrique#Valeurs remarquables de sinus|valeur remarquable de sinus]] : <math>\frac{\sqrt3}2=\sin\frac\pi3</math>. Les solutions sont donc tous les réels <math>x</math> de la forme <math>\frac\pi3+2k\pi</math> ou <math>\pi-\frac\pi3+2k\pi=\frac{2\pi3}+2k\pi</math> avec <math>k</math> entier relatif.
}}
▲{{Solution}}
== Exercice 1-7 ==
Résoudre l'équation :
▲<math>\cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt3}{2}</math>
<math>\cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt3}2\Leftrightarrow x-\frac\pi4=\pm\frac\pi6+2k\pi</math> (avec <math>k</math> entier relatif) <math>\Leftrightarrow x=\frac\pi4+\frac\pi6+2k\pi=\frac{5\pi}{12}+2k\pi</math> ou <math>x=\frac\pi4-\frac\pi6+2k\pi=\frac\pi{12}+2k\pi</math>.
}}
▲{{Solution}}
== Exercice 1-8 ==
Calculez le sinus, le cosinus et la tangente de :
'''1°''' <math>\frac\pi8</math> ;
'''2°''' <math>\frac\pi{24}</math> ;
'''3°''' <math>\frac\pi{16}</math> ;
'''4°''' <math>\frac{17\pi}{12}</math>▼
{{Solution}}▼
▲'''4°''' <math>\frac{17\pi}{12}</math>.
#<math>\frac{\sqrt2}2=\cos\frac\pi4=2\cos^2\frac\pi8-1=1-2\sin^2\frac\pi8</math> et <math>0<\frac\pi8<\frac\pi2</math> donc
#:<math>\cos\frac\pi8=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}2}2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2</math>, <math>\sin\frac\pi8=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}2}2}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2</math>, <math>\tan\frac\pi8=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}}=\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1</math>.
#<math>\frac\pi{24}=\frac\pi6-\frac\pi8</math> donc
#:<math>\cos\frac\pi{24}=\frac{\sqrt3}2\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2+\frac12\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2=\frac{\sqrt3\sqrt{2+\sqrt2}+\sqrt{2-\sqrt2}}4</math>,
#:<math>\sin\frac\pi{24}=\frac12\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2-\frac{\sqrt3}2\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}-\sqrt3\sqrt{2-\sqrt2}}4</math> et
#:<math>\tan\frac\pi{24}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}-\sqrt3\sqrt{2-\sqrt2}}{\sqrt3\sqrt{2+\sqrt2}+\sqrt{2-\sqrt2}}</math>.
#<math>\cos\frac\pi{16}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac\pi8}2}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2}2}=\frac{\sqrt{2+{\sqrt{2+\sqrt2}}}}2</math>,<br><math>\sin\frac\pi{16}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac\pi8}2}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2}2}=\frac{\sqrt{2-{\sqrt{2+\sqrt2}}}}2</math> et<br><math>\tan\frac\pi{16}=\sqrt{\frac{2-{\sqrt{2+\sqrt2}}}{2+{\sqrt{2+\sqrt2}}}}=\sqrt{4+2\sqrt2}-\sqrt2-1</math>.<!--http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi16.html https://fr.wikipedia.org/wiki/Table_de_lignes_trigonom%C3%A9triques_exactes-->
{{...}}
}}
== Exercice 1-9 ==
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