« Topologie générale/Complétude » : différence entre les versions

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→‎Espace complet : Corollaire : théorème d'interversion des limites
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Dans un espace métrique complet, pour toute suite décroissante de fermés non vides <math>F_n</math> dont le [[w:Diamètre|diamètre]] tend vers <math>0</math>, l'intersection des <math>F_n</math> est réduite à un point.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
*Pour tout entier <math>n</math>, choisissons un point <math>x_n</math> dans <math>F_n</math>. Alors la suite <math>x</math> est de Cauchy. En effet, pour tout <math>\varepsilon>0</math>, il existe un rang <math>N</math> tel que le diamètre de <math>F_N</math> soit majoré par <math>\varepsilon</math>, si bien que <math>\forall p,q\ge N\quad d(x_p,x_q)\le\varepsilon</math>. Cette suite est donc convergente car l'espace est complet.
Ligne 61 ⟶ 60 :
*Comme le diamètre de <math>F</math> est majoré par ceux des <math>F_n</math>, il est nul donc <math>F=\{\ell\}</math>.
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{{Théorème|titre=Critère de Cauchy pour une fonction|contenu={{Wikipédia|Oscillation (mathématiques)#Oscillation d'une fonction en un point|Oscillation d'une fonction en un point}}
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<div style="text-align: center;"><math>\lim_{x,y\to a}d\left(f\left(x\right),f\left(y\right)\right)=0</math>.</div>
}}
 
{{Corollaire|titre=Corollaire : théorème d'interversion des limites|contenu={{Wikipédia|Théorème d'interversion des limites}}
Soient
*''X'' et ''Y'' deux espaces topologiques,
*''E'' un espace métrique complet,
*''a'' un [[../Adhérence, intérieur|point adhérent]] dans ''X'' à une partie ''A'',
*''b'' un point adhérent dans ''Y'' à une partie ''B'' et
*''f'' une application de ''A'' × ''B'' dans ''E''.
On suppose qu'il existe des applications ''g'' : ''A'' → ''E'' et ''h'' : ''B'' → ''E'' telles que
#<math>\lim_{y\to b}f(x,y)=g(x)</math> [[../Espace topologique#Exemples classiques d'espaces topologiques|uniformément]] sur ''A'' et
#<math>\lim_{x\to a}f(x,y)=h(y)</math> [[../Espace produit|simplement]] sur ''B''.
Alors ''f'' possède une limite au point (''a'', ''b'') ; en particulier, les limites de ''h'' en ''b'' et de ''g'' en ''a'' existent et sont égales :
<div style="text-align: center;"><math>\lim_{y\to b}\left(\lim_{x\to a}f(x,y)\right)=\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=\lim_{x\to a}\left(\lim_{y\to b}f(x,y)\right)</math>.</div>
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Les deux hypothèses se traduisent par : pour tout ε > 0 :
*il existe un [[../Espace topologique#Définitions fondamentales|voisinage]] ''U{{ind|ε}}'' de ''b'' tel que pour tout ''x'' dans ''A'',
*::<math>\forall y\in U_{\varepsilon}\cap B\quad d(f(x,y),g(x))<\varepsilon\qquad(*)</math> ;
*pour tout ''y'' dans ''B'', puisque <math>\lim_af(\cdot,y)=h(y)</math> : il existe un voisinage ''V{{ind|ε,y}}'' de ''a'' tel que
*::<math>\forall x\in V_{\varepsilon,y}\cap A\quad d(f(x,y),h(y))<\varepsilon</math>.
*:En choisissant un ''y{{ind|ε}}'' dans ''U{{ind|ε}}'' ∩ ''B'' et en prenant ''W{{ind|ε}}'' = ''V{{ind|ε,y{{ind|ε}}}}'' (voisinage de ''a''), on a donc :
*::<math>\forall x\in W_{\varepsilon}\cap A\quad d(f(x,y_\varepsilon),h(y_\varepsilon))<\varepsilon</math>.
 
Par ailleurs, pour tous <math>y,y'\in U_{\varepsilon}\cap B</math>, on déduit de <math>(*)</math> que <math>\forall x\in A\quad d\left(f(x,y),f(x,y')\right)<2\varepsilon</math> donc (par passage à la limite quand <math>x\to a</math>) <math>d\left(h(y),h(y')\right)\le2\varepsilon</math>.
 
D'après le critère de Cauchy ci-dessus, ''h'' admet donc en ''b'' une limite <math>\ell</math>, qui vérifie (en fixant <math>y=y_\varepsilon</math> et en passant à la limite quand <math>y'\to b</math>) : <math>d\left(h(y_\varepsilon),\ell\right)\le2\varepsilon</math>.
 
Pour tout <math>x\in W_{\varepsilon}\cap A</math>, on en déduit :
:<math>d(g(x),\ell)\le d\left(g(x),f(x,y_\varepsilon)\right)+d\left(f(x,y_\varepsilon),h(y_\varepsilon)\right)+d\left(h(y_\varepsilon),\ell\right)<\varepsilon+\varepsilon+2\varepsilon=4\varepsilon</math>,
ce qui prouve que :
*<math>\lim_ag=\ell</math> ;
*<math>\forall y\in U_{\varepsilon}\cap B\quad d(f(x,y),\ell)\le d\left(f(x,y),g(x)\right)+d(g(x),\ell)<\varepsilon+4\varepsilon</math> donc <math>\lim_{(a,b)}f=\ell</math>.
}}
 
 
{{Théorème|titre=Théorème du [[w:Point fixe|point fixe]] de [[w:Émile Picard|Picard]]-[[w:Stefan Banach|Banach]]|contenu={{Wikipédia|Application contractante}}