« Trigonométrie/Les formules de trigonométrie » : différence entre les versions
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=== Les formules d'addition ===
[[Fichier:Trigo somme 2 angles.svg|275px|thumb|Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique.]]
Soient <math>a</math> et <math>b</math> deux réels. Dans un repère orthonormé <math>
:<math>(\overline{\vec i,\overrightarrow{OA}}) = a</math> et <math>(\overline{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}) = b
Soit encore <math>A'</math> le point du cercle trigonométrique tel que
:<math>(\overline{\vec i,\overrightarrow{OA'}}) = a + \frac
Alors :
:<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OA} &=
\overrightarrow{OA'} &=
&= -(\sin
\overrightarrow{OB} &= \cos (a+b) \vec i + \sin (a+b) \vec j.
\end{align}
</math>
Mais dans le repère <math>
:<math>
\begin{align}
\overrightarrow{OB} &=
&=
&= (\cos a \cos b) \vec i + (\sin a \cos b) \vec j - (\sin a \sin b) \vec i + (\cos a \sin b) \vec j \\
&= (\cos a \cos b - \sin a \sin b) \vec i + (\sin a \cos b + \cos a \sin b) \vec j
\end{align}
</math>
Or <math>\overrightarrow{OB} = \cos (a+b) \vec i + \sin (a+b) \vec j</math>, d'où :
:<math>\cos (a+b) \vec i + \sin (a+b) \vec j = (\cos a \cos b - \sin a \sin b) \vec i + (\sin a \cos b + \cos a \sin b) \vec j</math>.
Les composantes d’un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier :
Ligne 49 ⟶ 47 :
\cos (a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \\
\sin (a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b.
\end{align}
</math>
Ligne 70 ⟶ 56 :
&= \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b} \\
&= \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b} \times \frac{\cos a \cos b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b} \\
&= \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
\end{align}
</math>
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