« Trigonométrie/Les formules de trigonométrie » : différence entre les versions
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Ligne 11 :
Notre priorité sera avant tout de montrer les deux formules concernant <math>\cos (a+b)</math> et <math>\sin (a+b)</math>. Toutes les autres en découleront immédiatement.
=== Les formules d'addition ===
[[Fichier:Trigo somme 2 angles.svg|275px|thumb|Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique.]]
Ligne 33 ⟶ 32 :
\begin{align}
\overrightarrow{OB} &=(\cos b)\overrightarrow{OA}+(\sin b)\overrightarrow{OA'} \\
&=(\cos b)((\cos a)\vec i +
&= (\cos a \cos b - \sin a \sin b) \vec i + (\sin a \cos b + \cos a \sin b) \vec j
\end{align}
</math>
Or <math>\overrightarrow{OB} = \cos (a+b) \vec i + \sin (a+b) \vec j</math>
Les composantes d’un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier :
Ligne 60 ⟶ 57 :
</math>
=== Les autres formules ===▼
En posant <math>a = b</math>, et en n'oubliant pas que <math>\cos^2 a + \sin^2 a = 1</math>, les formules de duplication viennent clairement.▼
De là, on trouve facilement les formules de linéarisation à l'aide de deux expressions de <math>\cos (2a)</math>.▼
Les formulaires 4 et 5 s'obtiennent à partir du formulaire 1 :▼
:<math>\displaystyle \cos (a+b) + \cos (a-b) = 2\cos a \cos b</math>▼
donc▼
:<math>\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos (a+b) + \cos (a-b)]</math>▼
et, par un changement de variable, en posant <math>p = a+b</math> et <math>q = a-b</math>,▼
:<math>\displaystyle \cos p + \cos q = 2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right).</math>▼
▲== Démonstration géométrique ==
▲=== Construction ===
[[File:Cosinus(a+b).png|thumb|Figure]]
Soit un cercle de centre <math>o</math>,de rayon <math>r</math>.<br />
Ligne 82 ⟶ 67 :
On remarque que :
<math>\widehat{oxh_{2}} = \widehat{h_{3}xr_{2}} \rightarrow \widehat{xr_{2}h_{3}} = a</math>.
Dans <math>h_{1}or_{1}</math>, <math>oh_{1}=r\times\cos a</math><br />
Dans <math>h_{2}or_{2}</math>, <math>oh_{2}=r\times\cos(a+b)</math><br />
Ligne 98 ⟶ 83 :
On remarque que <math>ox = oh_{3} - xh_{3} \Rightarrow ox = r \times (\cos b - \frac{sin a \times sin b}{\cos a})</math>
[[File:Cosinus(a+b).png|thumb]]
D'après le [[Triangles et parallèles/Théorème de Thalès|théorème de Thalès]] dans le triangle <math>h_1or_1</math> :
Ligne 108 ⟶ 93 :
<math>\begin{align}\frac{r\times\cos a}{r\times\cos(a+b)}=\frac r{ox}&\Rightarrow\cos(a+b)=\frac{\cos a\times ox}r\\&\Rightarrow\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.\end{align}</math>
[[File:Cosinus(a+b).png|thumb|Figure]]
Dans <math>h_{2}ox </math>, <math> \sin a = \frac{xh_{2}}{ox} \Rightarrow xh_{2} = ox \times \sin a </math><br/>
Ligne 118 ⟶ 103 :
<math>\Rightarrow sin(a+b) = \sin a \times \cos b + \frac{\sin(b)}{\cos(a)}\times (1-\sin^2a) </math><br />
<math>\Rightarrow sin(a+b) = \sin a \times \cos b + \sin b \times \cos a </math><br />
}}
▲=== Les autres formules ===
▲En posant <math>a = b</math>, et en n'oubliant pas que <math>\cos^2 a + \sin^2 a = 1</math>, les formules de duplication viennent clairement.
▲De là, on trouve facilement les formules de linéarisation à l'aide de deux expressions de <math>\cos (2a)</math>.
▲Les formulaires 4 et 5 s'obtiennent à partir du formulaire 1 :
▲:<math>\displaystyle \cos (a+b) + \cos (a-b) = 2\cos a \cos b</math>
▲donc
▲et, par un changement de variable, en posant <math>p = a+b</math> et <math>q = a-b</math>,
▲:<math>
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