« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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→Exercice 4 : +1 |
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Ligne 75 :
*<math>\sum\sin\frac{(-1)^n}n</math> ;
{{Solution|contenu=
<math>\sin\frac{(-1)^n}n=(-1)^n\sin\frac1n</math> et la suite <math>\left(\sin\frac1n\right)</math> est décroissante et de limite nulle
}}
*<math>\sum(-1)^n\sqrt n\;\ln\frac{n+1}{n-1}</math>.
Ligne 84 :
:<math>f'(x)=\frac1{2\sqrt x}\ln\frac{1+\frac1x}{1-\frac1x}-\frac{2\sqrt x}{x^2-1}\sim\frac{-1}{x\sqrt x}<0</math>
donc la série converge, d'après le critère d'Abel.
}}
==Exercice 5==
#Montrer que la série <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}</math> est convergente.
#On note <math>S_n</math> sa <math>n</math>-ième somme partielle. Vérifier que <math>\frac1{2n+1}=\int_0^1t^{2n}\;\mathrm dt</math> et en déduire que <math>S_n-\frac\pi4</math> est du signe de <math>(-1)^n</math>.
#En déduire la somme de la série.
{{Solution|contenu=
#La suite <math>\left(\frac1{2n+1}\right)</math> est décroissante et de limite nulle donc la série converge, d'après le critère d'Abel.
#<math>\int_0^1t^{2n}\;\mathrm dt=\left[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^1=\frac1{2n+1}</math> donc
#:<math>\begin{align}S_n&=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}\\
&=\int_0^1\sum_{k=0}^n(-t^2)^k\;\mathrm dt\\
&=\int_0^1\frac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}\;\mathrm dt\\
&=\int_0^1\frac1{1+t^2}\;\mathrm dt+(-1)^n\int_0^1\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\;\mathrm dt.
\end{align}</math>
#:Or <math>\int_0^1\frac1{1+t^2}\;\mathrm dt=\left[\arctan t\right]_0^1=\frac\pi4</math> et <math>\int_0^1\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\;\mathrm dt>0</math>, donc <math>S_n-\frac\pi4</math> est bien du signe de <math>(-1)^n</math>.
#D'après la question 1, <math>S_n\to S\in\R</math>. D'après la question 2, <math>S_{2j+1}<\frac\pi4<S_{2k}</math> donc (par passage à la limite des deux sous-suites) <math>S\le\frac\pi4\le S</math>. Par conséquent, <math>S=\frac\pi4</math>.
}}
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