« Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet » : différence entre les versions
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Ligne 28 :
#En déduire que <math>\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{\sin\big((2n+1)t\big)}{\sin t}\,\mathrm dt=\frac\pi2</math>.
{{Solution|contenu=
#Cette conséquence immédiate de l'[[Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Question1|identité trigonométrique <math>\sum_{k=0}^n\cos(ks)=\frac12+\frac{\sin\frac{(2n+1)s}2}{2\sin\frac s2}</math>]] peut aussi se démontrer directement par la même méthode :
#:<math>\begin{align}\sum_{k=-n}^n\operatorname e^{\mathrm iks}&=\operatorname e^{-\mathrm ins}\,\frac{\operatorname e^{\mathrm i(2n+1)s}-1}{\operatorname e^{\mathrm is}-1}\\
&=\operatorname e^{-\mathrm ins}\,\frac{\operatorname e^{\mathrm i(2n+1)s/2}\left(\operatorname e^{\mathrm i(2n+1)s/2}-\operatorname e^{-\mathrm i(2n+1)s/2}\right)}{\operatorname e^{\mathrm is/2}\left(\operatorname e^{\mathrm is/2}-\operatorname e^{-\mathrm is/2}\right)}\\
&=\operatorname e^{\mathrm is\left(-n+\frac{2n+1}2-\frac12\right)}\,\frac{2\mathrm i\sin\frac{(2n+1)s}2}{2\mathrm i\sin\frac s2}\\
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