« Série numérique/Propriétés » : différence entre les versions
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+remarque majoration de la somme |
m →Critère d'Abel : Style |
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Ligne 14 :
:<math>c_n=A_nb_n</math>
alors
:<math>C_n=A_nB_n-\sum_{k<n}
}}
{{Démonstration déroulante|titre=Vérification|contenu=
Ligne 20 :
&=A_0B_0+\sum_{j=1}^nA_j(B_j-B_{j-1})\\
&=\sum_{k=0}^nA_kB_k-\sum_{k<n}A_{k+1}B_k\\
&=A_nB_n-\sum_{k<n}
&=A_nB_n-\sum_{k<n}
}}
Ligne 34 :
{{Démonstration déroulante|contenu=
On applique le lemme à <math>A_n=u_n</math> et <math>b_n=v_n</math>. Par hypothèse, <math>(B_n)</math> est bornée, <math>A_n\to0</math> et <math>\sum a_n</math> est absolument convergente, donc
:<math>\sum_{k\le n}u_nv_n=C_n=A_nB_n-\sum_{k<n}
cette dernière série étant absolument convergente.
On peut de plus remarquer que
:<math>\left|\sum u_nv_n\right|\le M\sum\left|a_{k+1}\right|=M\sum\left|u_{k+1}-u_k\right|</math>.
}}
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