« Série numérique/Exercices/Série harmonique » : différence entre les versions

Montrer que plus précisément, la suite <math>(H_n-\ln n)_{n\ge1}</math> converge (donc <math>H_n\sim\ln n</math>). Pour cela, poser <math>a_nv_n=H_n-\ln n</math> et considérer la série de terme général <math>u_na_n:=a_nv_n-a_v_{n-1}</math> pour <math>n\ge2</math>, et <math>u_1=a_1=v_1</math>.

Pour <math>n\ge2</math>, <math>u_na_n=\frac1n+\ln\left(1-\frac1n\right)=O\left(\frac1{n^2}\right)</math> donc la série <math>\sum_{n\ge1}u_na_n</math> converge.

:<math>\sum_{k=1}^nu_kna_k=a_nv_n</math> donc <math>a_nv_n\to\sum_{n\ge1}u_na_n</math>.