« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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Ligne 22 :
donc <math>\left|\sum_{k=0}^n\cos(kx)\right|=\frac{\left|\cos\tfrac{nx}2\sin\tfrac{(n+1)x}2\right|}{\left|\sin\tfrac x2\right|}\le\frac1{\left|\sin\tfrac x2\right|}</math>.
* La suite <math>\left(\frac1{n\ln n}\right)_{n\ge2}</math> est décroissante et de limite nulle.
* Il existe une constante <math>M = \frac1{\left|\sin\tfrac x2\right|}</math> telle que <math>\left| \sum_{k=0}^n \cos(kx) \right| \le M</math> pour tout entier <math>n</math>.
Donc d’après le critère d'Abel, <math>\sum_{n=2}^\infty\frac{\cos(nx)}{n\ln n}</math> converge.
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