« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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Ligne 11 :
Appliquer le critère d'Abel pour étudier les deux séries de terme général :
* <math>a_n = \frac{\cos(nx)}{n\ \ln^\beta n}</math>, où <math>x</math>
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
Si <math>x\in2\pi\Z</math>, <math>\sum a_n =\sum\frac1{n\ \ln^\beta n}</math> est une [[../Exemple de télescopage#Exercice 2|série de Bertrand
Supposons maintenant <math>x\notin2\pi\Z</math>. On utilise alors [[Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 5-3|un résultat classique]] :
Ligne 22 :
donc <math>\left|\sum_{k=0}^n\cos(kx)\right|=\frac{\left|\cos\tfrac{nx}2\sin\tfrac{(n+1)x}2\right|}{\left|\sin\tfrac x2\right|}\le\frac1{\left|\sin\tfrac x2\right|}</math>.
* La suite <math>\left(\frac1{n\ln^\beta n}\right)_{n\ge2}</math> est décroissante à partir d'un certain rang et de limite nulle.
* Il existe une constante <math>M = \frac1{\left|\sin\tfrac x2\right|}</math> telle que <math>\left| \sum_{k=0}^n \cos(kx) \right| \le M</math> pour tout entier <math>n</math>.
Donc d’après le critère d'Abel, <math>\sum_{n=2}^\infty\frac{\cos(nx)}{n\ln^\beta n}</math> converge.
}}
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