« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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m →Exercice 1 : étude de la cv absolue pour \frac{\sin n}{n^\alpha} |
→Exercice 1 : étude de la cv absolue pour \frac{\cos(nx)}{n\ \ln^\beta n} |
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Ligne 16 :
{{Solution
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Si <math>x\in2\pi\Z</math>, <math>\sum a_n
Supposons maintenant <math>x\notin2\pi\Z</math>. On utilise alors [[Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 5-3|un résultat classique]] :
Ligne 24 :
* La suite <math>\left(\frac1{n\ln^\beta n}\right)_{n\ge2}</math> est décroissante à partir d'un certain rang et de limite nulle.
* Il existe une constante <math>M = \frac1{\left|\sin\tfrac x2\right|}</math> telle que <math>\left| \sum_{k=0}^n \cos(kx) \right| \le M</math> pour tout entier <math>n</math>.
Donc d’après le critère d'Abel, <math>\sum_{n=2}^\infty\frac{\cos(nx)}{n\ln^\beta n}</math> converge pour tout <math>\beta\in\R</math>.
Cette convergence est absolue si <math>\beta>1</math> (par majoration par une série de Bertrand convergente) mais pas si <math>\beta\le1</math>, par minoration par la série <math>\sum\frac{|\cos(nx)|}{n\ \ln n}</math>. En effet, cette dernière diverge car si <math>x\in\pi\Z</math> alors <math>\sum\frac{|\cos(nx)|}{n\ \ln n}=\sum\frac1{n\ \ln n}</math> et sinon, <math>|\cos(nx)|\ge\cos^2(nx)=\frac{1+\cos(2nx)}2</math> donc <math>2\sum\frac{|\cos(nx)|}{n\ \ln n}</math> est minorée par la somme d'une série de Bertrand divergente et d'une série convergente.}}
* <math>b_n = \frac{\sin n}{n^\alpha}</math>, pour <math>\alpha>0</math>.
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