« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Exercice 1 : étude de la cv absolue pour \frac{\cos(nx)}{n\ \ln^\beta n} |
→Exercice 1 : divergence grossière de \sum\sin n |
||
Ligne 23 :
* La suite <math>\left(\frac1{n\ln^\beta n}\right)_{n\ge2}</math> est décroissante à partir d'un certain rang et de limite nulle.
*
Donc d’après le critère d'Abel, <math>\sum_{n=2}^\infty\frac{\cos(nx)}{n\ln^\beta n}</math> converge pour tout <math>\beta\in\R</math>.
Cette convergence est absolue si <math>\beta>1</math> (par majoration par une série de Bertrand convergente) mais pas si <math>\beta\le1</math>, par minoration par la série <math>\sum\frac{|\cos(nx)|}{n\ \ln n}</math>. En effet, cette dernière diverge car si <math>x\in\pi\Z</math> alors <math>\sum\frac{|\cos(nx)|}{n\ \ln n}=\sum\frac1{n\ \ln n}</math> et sinon, <math>|\cos(nx)|\ge\cos^2(nx)=\frac{1+\cos(2nx)}2</math> donc <math>2\sum\frac{|\cos(nx)|}{n\ \ln n}</math> est minorée par la somme d'une série de Bertrand divergente et d'une série convergente.}}
* <math>b_n = \frac{\sin n}{n^\alpha}</math>,
{{Solution|contenu=
Si <math>\alpha\le0</math>, cette série est grossièrement divergente car <math>\sin n</math> ne tend pas vers <math>0</math> : sinon, <math>\cos n=\frac{\sin(n+1)-\sin(n-1)}{2\sin1}</math> tendrait aussi vers <math>0</math>, ce qui est absurde car <math>\cos^2+\sin^2=1</math> (pire : l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite <math>(\sin n)</math> est <math>\left[-1,1\right]</math> : voir [[Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 3]]).
On utilise [[Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 5-3|le résultat classique analogue au précédent]] : pour tout entier naturel <math>n</math>, et tout réel <math>x \notin 2\pi\Z</math>,▼
▲
:<math>\sum_{k=1}^n
Pour <math>x=1</math>, on en déduit :▼
:<math>\left| \sum_{k=1}^n \sin k\right|=\frac{\left|\sin\tfrac n2\sin\tfrac{n+1}2\right|}{\sin\tfrac12}\le\frac1{\sin\tfrac12}</math>.▼
Donc <math>\left|
▲Pour <math>x=1</math> :
▲<math>\left| \sum_{k=1}^n \sin k\right|=\frac{\left|\sin\tfrac n2\sin\tfrac{n+1}2\right|}{\sin\tfrac12}\le\frac1{\sin\tfrac12}</math>.
▲<math>\left| \sum_{k=1}^n \sin k\right| \le M</math> pour tout entier n. On peut donc appliquer le critère d'Abel, donc la série <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^\alpha}</math> est convergente pour tout <math>\alpha>0</math>.
Cette convergence est absolue si <math>\alpha>1</math> (par majoration par une série de Riemann convergente) mais pas si <math>\alpha\le1</math> (par minoration par la [[Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale#Exercice 1|série divergente <math>\sum\frac{|\sin n|}n</math>]]).}}
| |||