« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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Ligne 86 :
#On note <math>S_n</math> sa <math>n</math>-ième somme partielle. Vérifier que <math>\frac1{2n+1}=\int_0^1t^{2n}\;\mathrm dt</math> et en déduire que <math>S_n-\frac\pi4</math> est du signe de <math>(-1)^n</math>.
#En déduire la somme de la série.
{{Solution|contenu={{Wikipédia|Formule de Leibniz#Série alternée|Formule de Leibniz}}{{CfExo|idfaculté=mathématiques|exercice=[[Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-1|Calcul de <math>\sum\frac{(-1)^n}{2n+1}</math>via une série de Fourier]]}}
#La suite <math>\left(\frac1{2n+1}\right)</math> est décroissante et de limite nulle donc la série converge, d'après le critère d'Abel.
#<math>\int_0^1t^{2n}\;\mathrm dt=\left[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right]_0^1=\frac1{2n+1}</math> donc
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