« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions
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Ligne 35 :
:<math>\sum_{k=1}^n\sin(kx)=\frac{\sin\tfrac{nx}2\sin\tfrac{(n+1)x}2}{\sin\tfrac x2}</math>
Pour <math>x=1</math>, on en déduit, pour tout entier <math>n</math> :
:<math>\left|
▲Donc <math>\left|\sum_{k=1}^n\sin k\right|\le\frac1{\sin\tfrac12}</math> pour tout entier <math>n</math>. De plus, la suite <math>\left(\frac1{n^\alpha}\right)</math> est décroissante et de limite nulle. On peut donc appliquer le critère d'Abel, donc la série <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^\alpha}</math> est convergente pour tout <math>\alpha>0</math>.
Cette convergence est absolue si <math>\alpha>1</math> (par majoration par une série de Riemann convergente) mais pas si <math>\alpha\le1</math> (par minoration par la [[Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale#Exercice 1|série divergente <math>\sum\frac{|\sin n|}n</math>]]).}}
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