« Série numérique/Exercices/Série harmonique » : différence entre les versions

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== Question 1 ==
On pose <math>H_n=\sum_{k=1}^n \frac1k</math> pour <math>n \in \N^*</math>.
Montrer que la série numérique de terme général <math>\tfrac1k</math> est divergente.
PourMontrer la suite, on poseque <math>\lim H_n = \sum_{k=1}^n \frac1k</math> pour <math>n \in +\N^*infty</math>.
 
{{Solution|titre=Indice|contenu=
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{{Solution
| contenu =
<math>H_{2n}-H_n=\frac1{n+1}+\dots+\frac1{2n}\ge\frac n{2n}=\frac12</math> donc <math>H_{2^k}\ge\frac k2H_1=\frac k2</math> donc <math>H_n\ge\frac{\lfloor\ln_2n\rfloor}2</math>.
 
Si la série convergeait, on aurait <math>H_n\to H\in\R</math> donc <math>H_{2n}-H_n\to H-H=0</math>, ce qui est impossible d'après la minoration ci-dessus.
}}