« Série numérique/Exercices/Critère d'Abel » : différence entre les versions

Si <math>x\in2\pi\Z</math>, <math>\sum a_n=\sum\frac1{n\ \ln^\beta n}</math> est une [[../Exemple de télescopage#Exercice 2|série de Bertrand]], qui converge si et seulement si <math>\beta>1</math>.

 

:<math>\sum_{k=0}^n\cos(kx)=\frac{\cos\tfrac{nx}2\sin\tfrac{(n+1)x}2}{\sin\tfrac x2}</math>

donc <math>\left|\sum_{k=0}^n\cos(kx)\right|=\frac{\left|\cos\tfrac{nx}2\sin\tfrac{(n+1)x}2\right|}{\left|\sin\tfrac x2\right|}\le\frac1{\left|\sin\tfrac x2\right|}</math>.

Si <math>\alpha\le0</math>, cette série est grossièrement divergente car <math>\sin n</math> ne tend pas vers <math>0</math> : sinon, <math>\cos n=\frac{\sin(n+1)-\sin(n-1)}{2\sin1}</math> tendrait aussi vers <math>0</math>, ce qui est absurde car <math>\cos^2+\sin^2=1</math> (pire : l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite <math>(\sin n)</math> est <math>\left[-1,1\right]</math> : voir [[Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 3]]).

 

:<math>\sum_{k=1}^n\sin(kx)=\frac{\sin\tfrac{nx}2\sin\tfrac{(n+1)x}2}{\sin\tfrac x2}</math>