« Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 2 » : différence entre les versions

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== Exercice 4-7 ==
 
Vérifier les relations :
 
'''1°''' &nbsp;<math>\tan a+\tan b=\frac{2\sin(a+b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}</math> et <math>\tan a=\frac{\sin(2a)sin2a}{1+\cos(2a)cos2a}=\frac{1-\cos(2a)cos2a}{\sin(2a)sin2a}</math>. ;
 
'''2°''' &nbsp;<math>\tan(\frac{a+b)}2=\frac{\sin^2a- a+\sin^2b b}{\sincos a+\cos b}=-\frac{\cos a-\sincos b}{\cossin a-\sin b}</math> ;
 
'''3°''' &nbsp;<math>\tan(a+b)=\frac{\sin^2a-\sin^2b}{\sin a\cos a-\sin b\cos b}</math> ;
 
'''4°''' &nbsp;<math>\tan^2a-\tan^2b=\frac{\sin(a+b)\sin(a-b)}{\cos^2a\cos^2b}</math>.
{{Solution|titre=Solution partielle|contenu=
'''1°''' &nbsp;D'après l'exercice 4-3 et les [[../../Relations trigonométriques#Formulaire 4 : produit-somme|formules de transformation d'un produit en somme]], <math>\tan a+\tan b=\frac{2\sin(a+b)}{\cos( a+b)+\cos(a- b)}=\frac{\cancel2\left(2\sin (a\cos b+\cos a\sin b\right)}{\cancel2\cos (a+b)+\cos (a-b)}=\tan a+\tan b</math>, d'où la première égalité du 1°. La seconde égalité s'en déduit en faisant <math>b=a</math>. Elle équivaut à la troisième, sachant que <math>\left(1+\cos(2acos2a)\right)\left(1-\cos(2a)\rightcos2a)=1-\cos^2(2a)22a=\sin^2(2a)22a</math>.
 
'''2°''' &nbsp;<math>\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}=\frac{2\sin\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2}{2\cos\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2}=\tan\frac{a+b}2</math>, d'où la première égalité du 2°. Elle équivaut à la seconde, sachant que <math>\left(\sin a+\sin b\right)\left(\sin a-\sin b\right)+\left(\cos a+\cos b\right)\left(\cos a-\cos b\right)=\sin^2a-\sin^2b+\cos^2a-\cos^2b=1-1=0</math>.
'''2°''' &nbsp;<math>\tan(a+b)=\frac{\sin^2a-\sin^2b}{\sin a\cos a-\sin b\cos b}</math>
 
'''3°''' &nbsp;<math>\tanfrac{\sin^2a-\tansin^2b=\frac}{\sin( a+b)\sin(cos a-\sin b\cos b}=\frac{(1-\cos2a)-(1-\cos2b)}{\cos^2asin2a-\cos^2bsin2b}=-\frac{\cos2a-\cos2b}{\sin2a-\sin2b}=\tan(a+b)</math>, d'après la question précédente.
 
'''4°''' &nbsp;D'après l'exercice 4-3, <math>\tan^2a-\tan^2b=(\tan a+\tan b)(\tan a-\tan b)=\frac{\sin(a+b)}{\cos a\cos b}\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}</math>.
{{Solution|titre=Solution partielle|contenu=
'''1°''' &nbsp;<math>\frac{2\sin(a+b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}=\frac{\cancel2\left(\sin a\cos b+\cos a\sin b\right)}{\cancel2\cos a\cos b}=\tan a+\tan b</math>. La seconde égalité s'en déduit en faisant <math>b=a</math>. Elle équivaut à la troisième, sachant que <math>\left(1+\cos(2a)\right)\left(1-\cos(2a)\right)=1-\cos^2(2a)=\sin^2(2a)</math>.
}}