« Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 2 » : différence entre les versions
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== Exercice 4-7 ==
Vérifier les relations :
'''1°''' <math>\tan a+\tan b=\frac{2\sin(a+b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}</math> et <math>\tan a=\frac{\
'''2°''' <math>\tan
'''3°''' <math>\tan(a+b)=\frac{\sin^2a-\sin^2b}{\sin a\cos a-\sin b\cos b}</math> ;
'''4°''' <math>\tan^2a-\tan^2b=\frac{\sin(a+b)\sin(a-b)}{\cos^2a\cos^2b}</math>.
'''1°''' D'après l'exercice 4-3 et les [[../../Relations trigonométriques#Formulaire 4 : produit-somme|formules de transformation d'un produit en somme]], <math>\tan a+\tan b=\frac{
'''2°''' <math>\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}=\frac{2\sin\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2}{2\cos\frac{a+b}2\cos\frac{a-b}2}=\tan\frac{a+b}2</math>, d'où la première égalité du 2°. Elle équivaut à la seconde, sachant que <math>\left(\sin a+\sin b\right)\left(\sin a-\sin b\right)+\left(\cos a+\cos b\right)\left(\cos a-\cos b\right)=\sin^2a-\sin^2b+\cos^2a-\cos^2b=1-1=0</math>.
▲'''2°''' <math>\tan(a+b)=\frac{\sin^2a-\sin^2b}{\sin a\cos a-\sin b\cos b}</math>
'''3°''' <math>\
'''4°''' D'après l'exercice 4-3, <math>\tan^2a-\tan^2b=(\tan a+\tan b)(\tan a-\tan b)=\frac{\sin(a+b)}{\cos a\cos b}\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}</math>.
▲{{Solution|titre=Solution partielle|contenu=
▲'''1°''' <math>\frac{2\sin(a+b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}=\frac{\cancel2\left(\sin a\cos b+\cos a\sin b\right)}{\cancel2\cos a\cos b}=\tan a+\tan b</math>. La seconde égalité s'en déduit en faisant <math>b=a</math>. Elle équivaut à la troisième, sachant que <math>\left(1+\cos(2a)\right)\left(1-\cos(2a)\right)=1-\cos^2(2a)=\sin^2(2a)</math>.
}}
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