« Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 3 » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Exercice 8-7 : sol |
→Exercice 8-8 : sol |
||
Ligne 93 :
== Exercice 8-8 ==
Démontrer la relation :
:<math>(1-\cos b\cos c)^2-\sin^2b\sin^2c=(\cos b-\cos c)^2</math>▼
▲<math>(1-\cos b\cos c)^2-\sin^2b\sin^2c=(\cos b-\cos c)^2</math>
et résoudre l'équation :
:<math>x^2\sin^2b-2(1-\cos b\cos c)x+\sin^2c=0</math>.▼
▲<math>x^2\sin^2b-2(1-\cos b\cos c)x+\sin^2c=0</math>
Le discriminant « réduit » (c.-à-d. divisé par 4) est égal à
:<math>(1-\cos b\cos c)^2-\sin^2b\sin^2c=1-2\cos b\cos c+\cos^2b\cos^2c-(1-\cos^2b)(1-\cos^2c)=-2\cos b\cos c+\cos^2b+\cos^2c=(\cos b-\cos c)^2</math>.
▲{{Solution}}
Les deux solutions sont donc :
:<math>x_\pm=\frac{1-\cos b\cos c\pm(\cos b-\cos c)}{\sin^2b}</math>,
c.-à-d.
:<math>x_+=\frac{1-\cos b\cos c+\cos b-\cos c}{\sin^2b}=\frac{(1+\cos b)(1-\cos c)}{\sin^2b}=\frac{\sin^2\frac c2}{\sin^2\frac b2}</math> et
:<math>x_-=\frac{1-\cos b\cos c-\cos b+\cos c}{\sin^2b}=\frac{(1-\cos b)(1+\cos c)}{\sin^2b}=\frac{\cos^2\frac c2}{\cos^2\frac b2}</math>.
}}
{{Bas de page
| |||