« Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 3 » : différence entre les versions
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→Exercice 8-4 : Solution des questions 3 et 4 |
→Exercice 8-4 : fin de sol de la question 2, particulièrement difficile |
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{{Solution|titre=Solution de la question 1, particulièrement difficile|contenu=
'''1°''' Le discriminant « réduit » (c.-à-d. divisé par 4) de l'équation <math>4s^2-2\left(\sqrt3-1\right)s-m=0</math> est <math>\Delta'=\left(\sqrt3-1\right)^2+4m=4(1+m)-2\sqrt3</math>.
:
:Si <math>m<\frac{\sqrt3}2-1</math>, il n'y a pas de solution.▼
:*Si <math>
:*Si <math>
▲:Si <math>m>\frac{\sqrt3}2-1</math>, les deux racines sont <math>s_\pm=\frac{\sqrt3-1\pm\sqrt{\Delta'}}4</math>.
:*Si <math>m>2+2\sqrt3</math>, il n'y a pas de solution car <math>s_-<-1</math> et <math>s_+>1</math>.▼
▲:*Si <math>\frac{\sqrt3}2-1<m\le6-2\sqrt3</math>, toutes deux sont comprises entre <math>-1</math> et <math>1</math> donc, en notant <math>\alpha_+,\alpha_-\in\R</math> tels que <math>\sin\alpha_\pm=s_\pm</math>, les solutions sont <math>\alpha_\pm\pmod{2\pi}</math> et <math>\pi-\alpha_\pm\pmod{2\pi}</math> (avec, dans le cas limite <math>m=6-2\sqrt3</math> : <math>s_+=1</math> et <math>\alpha_+=\pi-\alpha_+=\frac\pi2</math>).
▲:*Si <math>m>2+2\sqrt3</math>, il n'y a pas de solution.
On aboutit aux mêmes conclusions en étudiant les variations sur <math>\left[-1,1\right]</math> du polynôme <math>4s^2-2\left(\sqrt3-1\right)s</math>.
}}
{{Solution|titre=
'''2°''' Si <math>m=0</math>, l'équation est <math>\sin x=-\frac12</math> et ses solutions
:Si <math>m\ne0</math>, le discriminant réduit de l'équation <math>ms^2-2s+m-1=0</math> est <math>\Delta'=1-m\left(m-1\right)=-m^2+m+1</math>.
:Il ne peut y avoir de racines réelles que si <math>\Delta'\ge0</math>, c.-à-d. si <math>\frac{1-\sqrt5}2\le m\le\frac{1+\sqrt5}2</math>. Les deux racines sont alors <math>s_\pm=\frac{1\pm\sqrt{\Delta'}}m</math>.
▲:*Si <math>
:*Si <math>-\frac12\le m<\frac32</math> (avec <math>m\ne0</math>), seule <math>s_-</math> est comprise entre <math>-1</math> et <math>1</math> donc il y a en général <math>\pmod{2\pi}</math> deux solutions : <math>\alpha_-</math> et <math>\pi-\alpha_-</math>, pour <math>\alpha_-\in\R</math> tel que <math>\sin\alpha_-=s_-</math> (avec, dans le cas limite <math>m=-\frac12</math>, seulement une solution car <math>s_-=-1</math> donc <math>\alpha_-\equiv\pi-\alpha_-\equiv-\frac\pi2</math>).
:*Si <math>\frac32\le m\le\frac{1+\sqrt5}2</math>, il y a en général <math>\pmod{2\pi}</math> 4 solutions : <math>\alpha_+</math>, <math>\pi-\alpha_+</math>, <math>\alpha_-</math> et <math>\pi-\alpha_-</math>, pour <math>\alpha_+,\alpha_-\in\R</math> tels que <math>\sin\alpha_\pm=s_\pm</math> (avec, dans le cas limite <math>m=\frac32</math>, seulement 3 solutions car <math>s_+=1</math> donc <math>\alpha_+\equiv\pi-\alpha_+\equiv\frac\pi2</math>, et dans le cas limite <math>m=\frac{1+\sqrt5}2</math>, seulement 2 solutions car <math>s_+=s_-</math> donc <math>\alpha_+\equiv\alpha_-</math> et <math>\pi-\alpha_+\equiv\pi-\alpha_-</math>).
}}
{{Solution|titre=Solution des questions 3 et 4|contenu=
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