« Trigonométrie/Exercices/Résolution de systèmes » : différence entre les versions
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→Exercice 9-2 : Solution des questions 1 et 2 |
→Exercice 9-2 : fin sol |
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Ligne 27 :
== Exercice 9-2 ==
Résoudre les systèmes suivants, de
'''1°''' <math>\begin{cases} x\sin a+y\sin2a=\sin3a \\ x\cos a+y\cos2a=\cos3a~;\end{cases}</math>
Ligne 34 :
'''3°''' <math>\begin{cases} x\sin a+y\sin2a=\sin3a \\ x\sin3a+y\sin6a=\sin9a.\end{cases}</math>
{{Solution
'''1°''' Le déterminant de ce [[système d'équations linéaires]] est égal à <math>\sin a\cos2a-\sin2a\cos a=-\sin a</math>.
:Il est nul lorsque <math>a=k\pi</math> (avec <math>k\in\Z</math>), et l'ensemble des solutions est alors <math>\{\left(1-(-1)^ky,y\right)\mid y\in\R\}</math>.
Ligne 41 :
:Il est nul lorsque <math>a=b+k\pi</math> (avec <math>k\in\Z</math>), et l'ensemble des solutions est alors <math>\{\left(1-(-1)^ky,y\right)\mid y\in\R\}</math>.
:Si <math>a-b\notin\pi\Z</math>, le système est de Cramer sa solution est <math>\left(\frac{\sin\left(c-b\right)}{\sin\left(a-b\right)},\frac{\sin\left(a-c\right)}{\sin\left(a-b\right)}\right)</math>.
'''3°''' Le système équivaut à
:*Si <math>a\in\pi\Z</math>, l'ensemble de ses solutions est donc <math>\R^2</math> tout entier.
:*Si <math>a\equiv\pm\frac{2\pi}3\mod2\pi</math>, l'ensemble de ses solutions est <math>\{\left(3-2y,y\right)\mid y\in\R\}</math>.
:*Si <math>a\equiv\pm\frac\pi3\mod2\pi</math>, l'ensemble de ses solutions est <math>\{\left(-y,y\right)\mid y\in\R\}</math>.
:*Si <math>a\notin\frac\pi3\Z</math>, son unique solution est <math>\left(-2y\cos a+3-4\sin^2a,y\right)</math> avec (cf. [[../Établissement de formules 1#Exercice 3-2|exercice 3-2]]) <math>y=-2\frac{\sin^2a-\sin^23a}{\cos a-\cos3a}=\frac{(3-4\sin^2a)^2-1}{2\cos a}=8\left(\frac12-\sin^2a\right)\cos a</math>.
}}
▲'''3°''' <math>\begin{cases}\sin a=0\text{ ou }x+2y\cos a=3-4\sin^2a\\\sin3a=0\text{ ou }x+2y\cos3a=3-4\sin^23a.\end{cases}</math>
== Exercice 9-3 ==
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